Komplekse og Irrationale tal

Irrationale tal er reelle tal som ikke er rationelle, det vil altså sige reelle tal som ikke kan skrives som en brøk, f.eks. π eller √2.

Komplekse tal er tal på formen z=a+i·b, hvor a og b er reelle, og i er den imæginære enhed (√-1). Det er altså en udvidelse af de reelle tal, og du har at irrationale tal er en delmængde af de reelle tal, som selv er en delmængde af de komplekse tal.

Irrationale tal, tal, der ikke kan skrives som en brøk af formen p/q, hvor p og q er hele tal, og q er forskellig fra 0. Et irrationalt tal kan hverken omskrives til et endeligt eller et periodisk decimaltal. Eksempler på irrationale tal er (se kvadratrod), e og π.

Ved et komplekst tal forstås en størrelse , som er en sum af to komponenter, ét reelt tal (realdelen) og et andet reelt tal (imaginærdelen) ganget med den imaginære enhedsstørrelse . Et komplekst tal kan derfor repræsenteres ved to reelle tal, og illustreres som et punkt i et koordinatsystem kaldet et Argand-diagram med en reel og en imaginær akse.

Et komplekst tal skrives på formen

hvor  og  som angivet er vilkårlige reelle tal og hvor  er en særligt konstrueret størrelse med egenskaben

Da det for ethvert reelt tal  gælder, at , kan  ikke være et reelt tal; størrelsen kaldes den imaginære enhed. Populært omtales  også som "kvadratroden af -1", og det er netop en af de kendetegnende egenskaber ved komplekse tal, at et komplekst tal opløftet i 2. potens kan blive et negativt tal (modsat de reelle tal hvor selv et negativt tal i 2. potens altid er et positivt resultat).

Man kan, til en vis grad, godtage, at  a l l e  reelle tal også er komplekse tal, forstået således, at ethvert
reelt tal a ∈ R ⊂ C  kan beskrives som  (a + i·0) ∈ C .
De reelle tals udvidelse er grundet et krav om, at ethvert polynomium med reelle koefficienter skal have
en rod. Polynomiet  x² + 1 er et eksempel på de reelle tals utilstrækkelighed.

# 0  En væsentlig forskel er også, at komplekse tal ikke lader sig ordne.