Matematik

Modulus og Argumentet

02. oktober kl. 20:51 af Thifo1507 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej.

Jeg skal til prøve på tirsdag, og jeg vil rigtigt gerne vide hvordan jeg kan løse de mest typiske opgaver om modulus og argumentet. En opgave kan fx. lyde sådan her:
"Antag det komplekse tal z har modulus 3 og argument 1/2π mens det komplekse tal w har modulus 2 og argument −1/4π. Hvad er modulus og et argument for tallet z/w ?"

Eller f.eks.

"Antag at det komplekse tal z har argument 2π/3 og modulus 3. Hvad er argument og modulus for z^2 ?"

"Antag at det komplekse tal z har argument −π/2 og modulus 2. Hvad er modulus og argument for −iz?"

Altså hvad er metoden? Jeg har super svært at se hvordan jeg kan komme frem til løsning.

Håber i kan hjælpe!


Svar #1
02. oktober kl. 20:52 af Thifo1507

Opgaven..


Svar #2
02. oktober kl. 20:54 af Thifo1507

Eller denne..


Brugbart svar (0)

Svar #3
02. oktober kl. 21:18 af Eksperimentalfysikeren

Når man ganger to komplekse tal med hinanden, ganger man argumenterne med hinanden og adderer modulus med hinanden. Arg(ab) = Arg(a) * Arg(b) og Mod(ab) = Mod(a) + Mod(b).

Tilsvarende for division:Arg(a/b) = Arg(a) / Arg(b) og Mod(a/b) = Mod(a) - Mod(b).


Svar #4
02. oktober kl. 22:08 af Thifo1507

#3
Tak for din besked, men jeg er dog ikke lige helt sikker på om jeg forstår det du skriver.

Jeg forsøgte nemlig din metode med fx. denneopgave:
"Antag at det komplekse tal z har argument −π/2 og modulus 2. Hvad er modulus og argument for −iz?"

Og jeg fik slet ikke det rigtigt svar. Jeg får jo nemlig oplyst om kun at modulusen er 2 og argumenet er -pi/2, så hvordan kan jeg benytte Mod(a*b) = Mod(a) + Mod(b), når jeg har kun modulus 2?


Brugbart svar (1)

Svar #5
02. oktober kl. 22:47 af SådanDa

For dine eksempler:

1) arg(z) = 2π/3, |z|=3.

arg(z2)=arg(z·z)=arg(z)+arg(z)=2π/3+2π/3=4π/3

|z2|=|z·z|=|z|·|z|=3·3=9.

2) arg(z)=-π/2, |z|=2,

arg(-i·z)=arg(-i)+arg(z)=-π/2-π/2=-π (det er uden for intervallet -π<arg≤π, så læg 2π til: -π+2π=π)

|-i·z|=|-i|·|z|=1·2=2


Svar #6
02. oktober kl. 23:16 af Thifo1507

Ahh tusind tak!

Men du skriver arg(-i*z)= arg(-i) + arg (z).

Skal man ikke arg(-i*z)= arg(-i) * arg(z)? 

Esperimentalfysikeren har nemlig skrevet Arg(a*b)=arg(a)*arg(b)


Brugbart svar (1)

Svar #7
02. oktober kl. 23:30 af SådanDa

Hmm, nej. Jeg tror bare at #3 har byttet rundt på navnene.

Se f.eks. første video her:

https://www.examsolutions.net/tutorials/multiplication-division-rules-mod-argument-two-complex-numbers/


Svar #8
02. oktober kl. 23:33 af Thifo1507

Tusind tak for hjælpen!!


Svar #9
02. oktober kl. 23:38 af Thifo1507

#7

Hmm, nej. Jeg tror bare at #3 har byttet rundt på navnene.

Se f.eks. første video her:

https://www.examsolutions.net/tutorials/multiplication-division-rules-mod-argument-two-complex-numbers/

Hmm hvad så nu hvis arg(a-b) eller arg(a+b) eller |z+z| , eller  |z-z| hvad gør man så?


Brugbart svar (1)

Svar #10
02. oktober kl. 23:44 af AskTheAfghan

Teori: For et komplekst tal z, skriver vi for overskuelighedens skyld rz og θz for hhv. modulus af z og argument af z. Her er nogle fakta, som du måske kan bruge til at svare på dine opgaver.

(1) Lad z være et komplekst tal. Du kan altid skrive z = rz exp(θz). Ved hjælp af De Moivres formel (TL 3.3.5), har du zn = (rz)nexp(nθz) for alle naturlige tal n, så argument og modulus for zn er altså hhv. rzn = (rz)n og θzn = nθz.

(2) Lad w være et komplekst tal, der ikke er nul. Da w = rw exp(θw), har du 1/w = (1/rw)exp(-θw), så argument og modulus for 1/w er hhv. 1/rw og -θw.

(3) Lad z og w være to komplekse tal, og w ≠ 0. Ifølge TL 3.2.3, er rz/w = rz(1/w) = rzr1/w = rz/rw og θz/w = θz(1/w) = θz + θ1/w = θz - θw jf. (2). Det betyder, at argument og modulus for z/w er hhv. rz/rw og θz - θw.

(4) Vær opmærksom på, at argumentet af et komplekst tal ofte ligger i [0,2π[. Får du et argument, der ligger uden for [0,2π[, kan du uden problemer lægge 2πk til, for et passende heltal k, der gør, at det omregnede argument vil tilhøre [0,2π[.

Opgaver: Lad os kigge på to af dine eksempler.

Ex 1: "Antag det komplekse tal z har modulus 3 og argument 1/2π mens det komplekse tal w har modulus 2 og argument −1/4π. Hvad er modulus og et argument for tallet z/w ?"

Den kan oversættes til: "Antag at de komplekse tal z og w opfylder rz = 3, rw = 2, θz = (1/2)π og θw = -(1/4)π. Hvad giver rz/w og θz/w?"

Svar: Ifølge (3), har du rz/w = rz/rw = 3/2, og θz/w = θz - θw = (1/2)π - (-(1/4)π) = (3/4)π.

Ex 2: "Antag at det komplekse tal z har argument 2π/3 og modulus 3. Hvad er argument og modulus for z2?"

Den kan oversættes til: "Antag at det komplekse tal z opfylder rz = 3 og θz = 2π/3. Hvad giver rz2 og θz2?"

Svar: Ifølge (1), har du rz2 = (rz)2 = 32 = 9, og θz2 = 2(2π/3) = 4π/3.

Held og lykke med prøven :)


Brugbart svar (0)

Svar #11
03. oktober kl. 21:41 af Eksperimentalfysikeren

Jeg var vist ret trær, da jeg skrev #3. Jeg har byttet om på Mod og Arg.

Jeg beklager meget.

Modulus (-i) = 1 og argument (-i) = 3π/2.


Skriv et svar til: Modulus og Argumentet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.