Modulus og Argumentet

Opgaven..

Eller denne..

Når man ganger to komplekse tal med hinanden, ganger man argumenterne med hinanden og adderer modulus med hinanden. Arg(ab) = Arg(a) * Arg(b) og Mod(ab) = Mod(a) + Mod(b).

Tilsvarende for division:Arg(a/b) = Arg(a) / Arg(b) og Mod(a/b) = Mod(a) - Mod(b).

#3
Tak for din besked, men jeg er dog ikke lige helt sikker på om jeg forstår det du skriver.

Jeg forsøgte nemlig din metode med fx. denneopgave:
"Antag at det komplekse tal z har argument −π/2 og modulus 2. Hvad er modulus og argument for −iz?"

Og jeg fik slet ikke det rigtigt svar. Jeg får jo nemlig oplyst om kun at modulusen er 2 og argumenet er -pi/2, så hvordan kan jeg benytte Mod(a*b) = Mod(a) + Mod(b), når jeg har kun modulus 2?

For dine eksempler:

1) arg(z) = 2π/3, |z|=3.

arg(z²)=arg(z·z)=arg(z)+arg(z)=2π/3+2π/3=4π/3

|z²|=|z·z|=|z|·|z|=3·3=9.

2) arg(z)=-π/2, |z|=2,

arg(-i·z)=arg(-i)+arg(z)=-π/2-π/2=-π (det er uden for intervallet -π<arg≤π, så læg 2π til: -π+2π=π)

|-i·z|=|-i|·|z|=1·2=2

Ahh tusind tak!

Men du skriver arg(-i*z)= arg(-i) + arg (z).

Skal man ikke arg(-i*z)= arg(-i) * arg(z)? 

Esperimentalfysikeren har nemlig skrevet Arg(a*b)=arg(a)*arg(b)

Hmm, nej. Jeg tror bare at #3 har byttet rundt på navnene.

Se f.eks. første video her:

https://www.examsolutions.net/tutorials/multiplication-division-rules-mod-argument-two-complex-numbers/. 

Tusind tak for hjælpen!!

#7

Hmm, nej. Jeg tror bare at #3 har byttet rundt på navnene.

Se f.eks. første video her:

https://www.examsolutions.net/tutorials/multiplication-division-rules-mod-argument-two-complex-numbers/. 

Hmm hvad så nu hvis arg(a-b) eller arg(a+b) eller |z+z| , eller  |z-z| hvad gør man så?

Teori: For et komplekst tal z, skriver vi for overskuelighedens skyld r_z og θ_z for hhv. modulus af z og argument af z. Her er nogle fakta, som du måske kan bruge til at svare på dine opgaver.

(1) Lad z være et komplekst tal. Du kan altid skrive z = r_z exp(θ_z). Ved hjælp af De Moivres formel (TL 3.3.5), har du zⁿ = (r_z)ⁿexp(nθ_z) for alle naturlige tal n, så argument og modulus for zⁿ er altså hhv. r_zⁿ = (r_z)ⁿ og θ_zⁿ = nθ_z.

(2) Lad w være et komplekst tal, der ikke er nul. Da w = r_w exp(θ_w), har du 1/w = (1/r_w)exp(-θ_w), så argument og modulus for 1/w er hhv. 1/r_w og -θ_w.

(3) Lad z og w være to komplekse tal, og w ≠ 0. Ifølge TL 3.2.3, er r_z/w = r_z(1/w) = r_zr_1/w = r_z/r_w og θ_z/w = θ_z(1/w) = θ_z + θ_1/w = θ_z - θ_w jf. (2). Det betyder, at argument og modulus for z/w er hhv. r_z/r_w og θ_z - θ_w.

(4) Vær opmærksom på, at argumentet af et komplekst tal ofte ligger i [0,2π[. Får du et argument, der ligger uden for [0,2π[, kan du uden problemer lægge 2πk til, for et passende heltal k, der gør, at det omregnede argument vil tilhøre [0,2π[.

Opgaver: Lad os kigge på to af dine eksempler.

Ex 1: "Antag det komplekse tal z har modulus 3 og argument 1/2π mens det komplekse tal w har modulus 2 og argument −1/4π. Hvad er modulus og et argument for tallet z/w ?"

Den kan oversættes til: "Antag at de komplekse tal z og w opfylder r_z = 3, r_w = 2, θ_z = (1/2)π og θ_w = -(1/4)π. Hvad giver r_z/w og θ_z/w?"

Svar: Ifølge (3), har du r_z/w = r_z/r_w = 3/2, og θ_z/w = θ_z - θ_w = (1/2)π - (-(1/4)π) = (3/4)π.

Ex 2: "Antag at det komplekse tal z har argument 2π/3 og modulus 3. Hvad er argument og modulus for z²?"

Den kan oversættes til: "Antag at det komplekse tal z opfylder r_z = 3 og θ_z = 2π/3. Hvad giver r_z² og θ_z²?"

Svar: Ifølge (1), har du r_z² = (r_z)² = 3² = 9, og θ_z² = 2(2π/3) = 4π/3.

Held og lykke med prøven :)

Jeg var vist ret trær, da jeg skrev #3. Jeg har byttet om på Mod og Arg.

Jeg beklager meget.

Modulus (-i) = 1 og argument (-i) = 3π/2.