Matematik

Omskrive gammafunktion

09. oktober 2022 af norm (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan omskrives:

$\int_{0}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}dx$

Til:

$\int_{0}^{1 }x^{a-1}e^{-x}dx+\int_{0}^{1 }x^{-1-a}e^{-1/x}dx$

Jeg kommer ikke rigtig videre herfra:

$\int_{0}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}dx=\int_{0}^{1 }x^{a-1}e^{-x}dx+\int_{1}^{\infty }x^{a-1}e^{-x}dx$

På en eller anden måde skal det andet integral vel transformeres, men det er ikke et område, jeg har kendskab til.

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. oktober 2022 af SådanDa

Kan du ikke bruge integration ved substitution? u=1/x ser umiddelbart ud til at fungere. Har du prøvet?

Svar #2
09. oktober 2022 af norm (Slettet)

Jeg ved godt, hvordan man udregner integralet. Men jeg prøver at finde en metode, så jeg kan komme fra det første integral til det andet, hvis jeg nu ikke kender det andet integral. Hvis jeg bare udregner integralerne og viser, at de er ens, så kan jeg jo kun gøre det, fordi jeg kendte integralerne til at starte med

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. oktober 2022 af SådanDa

Jeg er ikke helt sikker på hvad du mener? Det jeg tænkte var bare at betragte:

$\int_1^\infty x^{a-1}e^{-x} \textup{d}x$ , med x=1/u har vi at dx/du= -1/(u²), så integralet bliver:

$\int_1^0 (u^{-1})^{a-1}e^{-u^{-1}} \cdot (-u^{-2})\ \textup{d}u=\int_1^0 u^{-a+1}e^{-u^{-1}} (-u^{-2})\ \textup{d}u=-\int_1^0 u^{-a-1}e^{-u^{-1}} \ \textup{d}u$

$=\int_0^1 u^{-a-1}e^{-u^{-1}} \ \textup{d}u$ , som så vidt jeg kan se er det du efterspørger. Man skal selvfølgelig have en ide om hvorfor det er smart at skrive på denne måde i stedet for den oprindelige, men det afhænger jo også lidt af hvad formålet er.

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. oktober 2022 af jl9

#3 Jeg forstår ikke hvordan grænserne i integralet skifter fra 1..∞ til 0..1?

Svar #5
09. oktober 2022 af norm (Slettet)

Nu forstår jeg. Jeg vidste dog ikke, at man også kan lave substitution på den måde der. Det har jeg ikke set før. Jeg har kun set integration ved substitution, hvor man substituerer med noget, som er mindre.

Brugbart svar (1)

Svar #6
09. oktober 2022 af SådanDa

#4 Når man substituerer skal grænserne ændres så de passer, vi har at u=1/x, så når x=1 er u=1/1=1. Når x=∞ er u=1/∞ = 0. Det sidste er selvfølgelig ikke særlig stringent. Man kan vel gøre det med en grænseværdi i stedet. Vi ved at

$\int_1^\infty\dots =\lim_{n\to\infty}\int_1^n\dots$ , så når x=n er u=1/n, så:

$\lim_{n\to\infty}\int_1^\frac{1}{n}\dots=\int_1^0\dots$

Brugbart svar (0)

Svar #7
09. oktober 2022 af SådanDa

#5 noget som er mindre end hvad? Substitution er jo i bund og grund bare den lighed som er opgivet her:

https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_substitution#Definite_integrals

Svar #8
09. oktober 2022 af norm (Slettet)

Ok tak for forklaringen! Men hvad er så funktionen fi(x) i det her tilfælde?

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. oktober 2022 af SådanDa

Hmm, i #3 står u og x modsat af hvad de gør i wiki-artiklen, så i det her tilfælde har vi

$x=\varphi(u)=\frac{1}{u}$ .

Skriv et svar til: Omskrive gammafunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.