Matematik

Seperabel differentialligning gennem punkt

21. november 2022 af brormanden2 - Niveau: A-niveau

Er der nogen, der kan forklare mig, hvordan de vil løse opgaven fra når man skal sætte sit punkt P(4,2) ind i udtrykket?

Fordi jeg forstår ikke helt, hvorfor man ikke skal sætte en parentes rundt om -x^2, når man fx plejer at gøre det, når man laver andengradsligninger?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-11-21 kl. 10.57.09.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. november 2022 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. november 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll}&& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{x}{y}\qquad y>0\\\\ \textup{Separ}\mathrm{\acute{e}}\textup{r de variable:}\\&&y\,\mathrm {d}y=-x\,\mathrm {d}x\\\\\textup{Integrer:}\\&& \int y\,\mathrm {d}y=\int -x\,\mathrm {d}x\\\\&& \frac{1}{2}y^2=-\frac{1}{2}x^2+k_1\\\\&& y^2=-x^2+k\\\\\textup{Betingelse:}\\&& 2^2=-4^2+k\\\\&&k=20\\\textup{hvoraf:}\\&&y=\sqrt{20-x^2}\qquad -2\sqrt{5}\leq x\leq 2\sqrt{5} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. november 2022 af Anders521

0# En alternativ metode til at bestemme den fuldstændig løsning:

$\small \small \quad \frac{\textup{d}y}{\textup{d}x}$=$-\frac{x}{y}\\ \Leftrightarrow 2y\frac{\textup{d}y}{\textup{d}x}$=$-2x \\ \Leftrightarrow \frac{\textup{d}(y^2)}{\textup{d}x}=-2x \\ \Leftrightarrow y^2=-x^2+C, \,C\in\mathbb{R}.\\ \Leftrightarrow |y|=\sqrt{C-x^2},\, \\ \Leftrightarrow y=\pm \sqrt{C-x^2} \\$

Da er løsningerne givet ved , hvis integralkurver er halvcirkler der over x-aksen med centrum i $\small x=0$ med radius $\small \sqrt{C}$ .

Skriv et svar til: Seperabel differentialligning gennem punkt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.