Matematik

Tangent til grafen (differentialligninger)

28. november 2022 af NordestgaarDK - Niveau: A-niveau

Hey alle, jeg er fuldstændig lost på hvad det er jeg skal gøre. Håber der er nogen der kan hjælpe!

En funktion f er løsning til differentialligningen
y'=2y*(8-y)
Grafen for f går gennem punktet P(0,2)

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P

b) Bestem en forskrift for f

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. november 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll}\textbf{a)}\\& \textup{Tangent }\\& \textup{ i } P(0,2)\textup{:}\\&& y=&\left (\left ( 2\cdot 2 \right )\cdot \left ( 8-2 \right ) \right )\cdot \left ( x-0 \right )+2=\\\\&&&\left (4\cdot 6 \right )\cdot x+2=\\\\&&& 24x+2 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. december 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{b)}\\&\textup{For }&y{\, }'=a\cdot y\cdot \left ( M-y \right )\qquad 0<y<M\\\\&\textup{g\ae lder:}\\&& y=\frac{M}{1+C\cdot e^{-a\cdot M\cdot x}}\\\\\\&\textup{i anvendelse:}\\\\&& y{\, }'=2\cdot y\cdot \left ( 8-y \right )\qquad 0<y<M\\\\&& y=\frac{8}{1+C\cdot e^{2\cdot 8\cdot x}}=\frac{8}{1+C\cdot e^{-16x}}\\\\&\textup{betingelse:}\\&&2=\frac{8}{1+C\cdot 1}\\\\&&1+C=\frac{8}{2}=4\\\\&& C=3\\\\&\textup{hvoraf:}\\&&y=\frac{8}{1+3\cdot e^{-16x}} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. december 2022 af mathon

i linje 6 i #2
korrigeres
$\small \frac{8}{1+C\cdot e^{2\cdot 8\cdot x}}\textup{ til }\frac{8}{1+C\cdot e^{-\left (2\cdot 8\cdot x \right )}}$

Skriv et svar til: Tangent til grafen (differentialligninger)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.