Matematik

andengradsligninger toppunktet

03. januar 2023 af swishbaby - Niveau: B-niveau

er det ikke lidt forkert at der står ligningen ax2+ bx + c - p = 0 har netop en løsning? Jeg har lavet mit eget eksempel med 2x2 + 3x + 4 = 2.88. Jeg har så gjort netop det samme som der står på siden i bogen at trække p = 2.88 (y værdien til toppunktet) fra konstantleddet c = 4. Dvs let og enkelt får jeg

2x2 +3x + 1.12 = 0 . Jeg får to løsninger til den her ligning som set på billedet og på nspire får jeg også det samme. Så mit spørgsmål er bare om det ikke forkert at der står at den kun har en løsning, når der kunne være flere? 


Svar #1
03. januar 2023 af swishbaby

her er siden på bogen 


Svar #2
03. januar 2023 af swishbaby


Svar #3
03. januar 2023 af swishbaby


Brugbart svar (0)

Svar #4
03. januar 2023 af jl9

Godt set! Du har helt ret i at det er en 2. grads ligning, og derfor afhænger antallet af løsninger af diskriminanten d. Har du bestemt d=0 ?


Brugbart svar (0)

Svar #5
03. januar 2023 af mathon

Hvor vi kender \small a,b \textup{ og } c men ikke \small p, som vi er interesseret i at beregne, som toppunktets andenkoordinat.

\small \small \begin{array}{llllll}&& 2x^2+3x+4=p\\\\&& 2x^2+3x+(4-p)=0\\\textup{determinanten:}\\&& d=b^2-4\cdot a\cdot c=0\\\\&& 3^2-4\cdot 2\cdot \left ( 4-p \right )=0\\\\&& 9-32+8p=0\\\\&& -23+8p=0\\\\&&p=\frac{23}{8}\\\\\\&& 2{x_o}^2+3x_o+(4-\frac{23}{8})=0\\\\&& x_o=\frac{-3}{2\cdot 2}=-\frac{3}{4}\\\\\\\textup{toppunkt:}&&\left ( -\frac{3}{4},\frac{23}{8} \right ) \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
04. januar 2023 af Anders521

#0

er det ikke lidt forkert at der står ligningen ax2+ bx + c - p = 0 har netop en løsning?

Nej, punktet (x0,p) angiver parablens toppunkt, hvilket betyder at koordinaterne kan skrives som x0 = -b/2a og p = -d/4a, hvor d betegner diskriminanten. Du kan eftervise at der er kun én løsningen ved at bestemme koordinaternes udtryk. At x0 = -b/2a kommer af differentialregning. At p = -d/4a kommer af følgende:

                                                         d = 0  ⇔ b2 - 4a(c - p) = 0                                                                                                                                               ⇔ b2 - 4ac + 4ap = 0                                                                                                                                             ⇔  b2 - 4ac  = -4ap                                                                                                                                                 ⇔  -(b2 - 4ac)/4a = p                                                                                                                                             ⇔ -d/4a = p.


Brugbart svar (1)

Svar #7
04. januar 2023 af mathon

#0
          Grunden til at du får to løsninger er, at du har afrundet den eksakte værdi for \small p \small \tfrac{23}{8} til \small 2.88.

           Med den eksakte værdi
           har du:
                                 \small \begin{array}{llllll}&& 2x^2+3x+\left ( 4-\frac{23}{8} \right )=0\\\\&& 2x^2+3x+\frac{9}{8}=0\\\\&& d=3^2-4\cdot 2\cdot \frac{9}{8}=9-9=0\\\textup{og}\\&&x=\frac{-3\pm\sqrt{0}}{2\cdot 2}=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4} \end{array}


Svar #8
04. januar 2023 af swishbaby

#4

Godt set! Du har helt ret i at det er en 2. grads ligning, og derfor afhænger antallet af løsninger af diskriminanten d. Har du bestemt d=0 ?

Jeg fik d = 0.04 fordi d= 32 - 4 * 2 * 1.12 = 0.04


Brugbart svar (0)

Svar #9
04. januar 2023 af Eksperimentalfysikeren

Man skal være forsigtig med at regne brøker om til decimaltal. Der kommer ofte afrundingsfejl.

\frac{23}{8}

er en eksakt værdi

2,88 er en tilnærmet værdi.


Brugbart svar (0)

Svar #10
04. januar 2023 af ringstedLC

#0: Det virker ikke helt som om, at du har forstået meningen med figur 2 og ligningerne:

\begin{align*} ax^2+bx+c &= k\Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right\} && (2\,\textup{l\o sninger} ) && \Rightarrow \left\{\begin{matrix}S_1=(x_1,k)\\S_2=(x_2,k)\end{matrix}\right. \\ ax^2+bx+c &= p\Rightarrow x=x_0 && (1\,\textup{l\o sning} ) && \Rightarrow T=(x_0,p) \\ ax^2+bx+c &= q\Rightarrow x\,\in \varnothing && (0\,\textup{l\o sninger}) && \Rightarrow \textup{ingen sk\ae ring(er)} \end{align*}


Brugbart svar (0)

Svar #11
04. januar 2023 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Svar #12
04. januar 2023 af swishbaby

h


Svar #13
05. januar 2023 af swishbaby

tak for hjælpen. Ja nu forstår jeg hvorfor jeg blev ved med at få to løsninger. fejlen ligger i den skide irriterende afrunding. Det der er, er at jeg forsøger at forstå hvad der står i bogen ved at bruge/skrive mine egne eksempler (gør jeg oftest og ja det kan nogen gange virke lidt firkantet osv, men det er sådan jeg forstår matematikken bedre) men tak for hjælpen igen. Jeg er dog endnu ikke helt færdig med at forstå beviset. så sidder stadigvæk lige og kører jeres kommentarer i gennem. 


Brugbart svar (0)

Svar #14
05. januar 2023 af ringstedLC

#13

tak for hjælpen. Ja nu forstår jeg hvorfor jeg blev ved med at få to løsninger. fejlen ligger i den skide irriterende afrunding.

Afrunding er ofte en praktisk måde at se et resultat på, men der et risikomoment i den.

Jeg gætter på, at "fejlen" opstår fordi du har tegnet parablen i CAS, og så bestemt p med toppunktsværktøjet eller lignende og med kun to decimaler.

Næste gang (når et punkt ikke ligger på gitteret/indeholder et decimaltal):

Enten bestemmes toppunktet med CAS indstillet til "eksakt værdi".

Eller forøg antallet af decimaler tilstrækkeligt. Det vil sige til der står færre decimaler end du har indstillet til.

Eller endnu bedre: Vælg nogle koefficienter, der giver "sikre" punkter.


Skriv et svar til: andengradsligninger toppunktet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.