Matematik

Biler passerer en bro, Vejen til Matematik A2, Opgave 179, Side 167, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

28. januar kl. 17:06 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 179.

En lang kø af biler passerer en bro med en fart v, der måles i km/t. Antallet af biler N, der passerer broen på et minut, afhænger af farten v ved:

12 • v

N (v) = -----------------------------------

0,008 • v² +0,2 • v +4

a) Hvor mange biler passerer pr. minut, hvis de kører 40 km/t ?

12 • 40

N (40) = ----------------------------------- = 19, 335 ≈ 19

0,008 • 40² +0,2 •40+4

Når farten er 40 km/t passerer 19 biler pr. minut

( Det samme som facitlisten side 394 )

Hvor mange biler passerer pr. minut, hvis de kører 60 km/t ?

12 • 60

N (60) = ----------------------------------- = 16,07 ≈ 16

0,008 • 60² +0,2 •60+4

Når farten er 60 km/t passerer 16 biler pr. minut

( Det samme som facitlisten side 394 )

Egentlig lyder det underligt at, jo højere fart bilerne kører med jo færre biler passerer broen pr. minut. Man skulle tro at det var omvendt, at jo højere fart bilerne kører med, jo flere biler burde der jo passerer broen pr. minut.

c) Bestem den fart, der tillader flest biler at passerer.

Som udgangspunkt mener jeg at man skal begynde med at differentierer N (v ). ( Jeg har brugt TI-89 Titanium, der anvender man x i stedet for v )

12 • v 1500

N '(v) = ( ----------------------------------- )' = -----------------------------

0,008 • v² +0,2 • v +4 v² + 25 • v +500

Og så burde man bestemme N ' (v ) = 0 ⇔

1500

----------------------------- = 0

v² + 25 • v +500

Men det giver ingen mening da udtrykket ikke bliver nul.

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man den fart, der tillader flest biler at passerer ?

( I facitlisten er svaret på c:

v = 22,4 km /t )

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. januar kl. 17:23 af StoreNord

Det er nok noget med en parabel. Find toppunktet.
Eventuelt ved at differentiere en 2.-grads funktion.

Brugbart svar (1)

Svar #2
28. januar kl. 17:46 af ringstedLC

Diff.-kvotient:

$\begin{align*} 0 &= \left ( \frac{12v}{0.008v^2+0.2v+4} \right )'\;,\;v\geq 0 \\ 0 &= \frac{\bigl(12v\bigr)'\cdot \bigl(0.008v^2+0.2v+4\bigr)-12v\cdot \bigl(0.008v^2+0.2v+4\bigr)'}{\bigl(0.008v^2+0.2v+4\bigr)^2} &,\;\textup{kvotientreglen} \\v &= ... \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
28. januar kl. 17:46 af ringstedLC

#0
Egentlig lyder det underligt at, jo højere fart bilerne kører med jo færre biler passerer broen pr. minut. Man skulle tro at det var omvendt, at jo højere fart bilerne kører med, jo flere biler burde der jo passerer broen pr. minut.biler at passerer ?

Tegn grafen for N(v) og se at den faktisk stiger til at begynde med.

Forskriften tager højde for den øgede bremselængde, der betyder større afstand, der igen betyder færre biler pr. minut.

Svar #4
28. januar kl. 18:09 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser på opgaven igen.

Brugbart svar (1)

Svar #5
29. januar kl. 13:06 af ringstedLC

#3 fortsat:

$\begin{align*} \textup{Konc.} &= \frac{\textup{antal}}{t}\;{\color{Red} \neq}\;\frac{\textup{afst.}}{t}=\textup{hastighed} \end{align*}$

Svar #6
29. januar kl. 13:13 af ca10

( 12v )

N ' (v ) = ( ------------------------------------------------------------- )'

( 0,008 v² + 0,2 v + 4 )

( 12 v )' • ( 0,008 v² + 0,2 v + 4 ) - 12v • ( 0,008 v² + 0,2 v +4 )'

= --------------------------------------------------------------------------------------

( 0,008 v² + 0,2v + 4 )²

0,096v² + 2,4v + 48 - 0,192 v² - 2,4v

= --------------------------------------------------------------------

( 0,008 v² + 0,2v + 4 )²

- 0,096 v² + 48

= ---------------------------------------

( 0,008 v² + 0,2v + 4 )²

N ' ( v ) = 0 ⇔

- 0,096 v²+ 48

= --------------------------------------- = 0

( 0,008 v² + 0,2v + 4 )²

-0,096v² + 48 = 0

- 0,096 v² = - 48

- 18

v^{2 = ----------------------}

^-0,096

v² = 500 ,

Således at v = + 22,4 km/t ∨ v = - 22,4 km/t

Den fart der tillader flest biler at passerer broen pr. minut kan ikke være negativ så v = - 22,4 km/t ses der bort fra.

Facit er:

At den fart der tillader flest biler der passerer broen pr. minut er v = 22,4 km/t

Årsagen er selvfølgelig, at ved en lavere fart er bremselængden kortere, og derfor når farten er 22,4 km/t tillader det at flest biler passerer broen pr. minut.

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. januar kl. 13:48 af ringstedLC

#6:

$\begin{align*} \frac{-0.096\,v^2+48}{\bigl(0.008\,v^2+0.2\,v+4\bigr)^2} &= 0 \;,\;{\color{Red} v\geq 0} \\ -0.096\,v^2+48 &= 0 \\ v &=22.4\;\left ( \tfrac{\textup{km}}{\textup{t}} \right )\end{align*}$

Svar #8
29. januar kl. 13:55 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: Biler passerer en bro, Vejen til Matematik A2, Opgave 179, Side 167, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.