Bestem ved regning i hånden regneforskriften for p(z)

#0 Der står, at du skal bruge de tre sidste cifre i dit studienummer. De skal indsættes i polynomiet p før du kan komme i gang med selve opgaven

#1
#0 Der står, at du skal bruge de tre sidste cifre i dit studienummer. De skal indsættes i polynomiet p før du kan komme i gang med selve opgaven

Ja, og hvad så efter jeg har sat dem ind på deres pladser? Det er den del jeg ikke kan komme i gang med.

Mine sidste tre cifre er 575

s1 = 5, s2 = 7, s3 = 5

I polynomiet er kun angivet s₂, så s₁ og s₃ har du ikke brug for i denne del af opgaven.

Alle de steder, hvor der står s₂i polynomiet, skriver du 7. Du får derved nogle udtryk, der kan reduceres, f.eks. (2s₂+6) = (2*7+6) = 20.

Når du har gjort det, gør du det samme med s₂+3. Herefter kan du gribe det an på forskellig måde.

1) Du kan indsætte tallet i udtrykket for p(z), altså regne p(tallet) ud. Hvis denne værdi er 0, er tallet rod i polynomiet.

2) Du kan dividere polynomiet (z minus tallet) op i p(z). Hvis det går op, er tallet rd i p(z). Denne metode kan gentages med resultatet af divisionen. Hvis divisionen går op denne gang, er rodens multiplicitet mindst 2. Gentag til der kommer en rest, der ikke er nul

Du kan også forsøge at dividere polynomiet d(z) = z-(s₂+3) op i p(z). Hvis det går op, har du vist, at s₂+3 er rod i p(z) for alle værdier af s₂. Det polynomium, der fremkommer ved divisionen, behøver ikke at have s₂₊3 som rod generelt, men kan aligevel have s₂+3 som rod for bestemte værdier af s₂.

#3

Har altså løst hele opgave 1.

#0.

Du har et polynomium på formen: p(z) = az³ + bz² + cz + d.

Af p(0) = 0 udledes, at p(z) = az³ + bz² + cz.

Af p(1) = s₃ + 1 = 6 udledes, at c = 6 - (a+b). Dermed har man, at p(z) = az³ + bz² + (6 - (a+b))z.

Af det faktum, at (s₁+1) + (s₂+1)·i = 6 + 8·i er en rod i p(z), udledes, at z - (6 + 8·i) går op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z. Dvs. dividerer man z - (6 + 8·i) op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z, så giver dette et restled, hvor både realdel og imaginærdel skal give 0. Dermed kan a og b findes og dermed også c.

#5

#0.

Du har et polynomium på formen: p(z) = az³ + bz² + cz + d.

Af p(0) = 0 udledes, at p(z) = az³ + bz² + cz.

Af p(1) = s₃ + 1 = 6 udledes, at c = 6 - (a+b). Dermed har man, at p(z) = az³ + bz² + (6 - (a+b))z.

Af det faktum, at (s₁+1) + (s₂+1)·i = 6 + 8·i er en rod i p(z), udledes, at z - (6 + 8·i) går op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z. Dvs. dividerer man z - (6 + 8·i) op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z, så giver dette et restled, hvor både realdel og imaginærdel skal give 0. Dermed kan a og b findes og dermed også c.

Kan det ikke gøres nemmere? Det skal løses i hånden. Jeg ved, at polynomiet skal være p(z) = z - 6. Kan ikke helt se, hvordan den formel ville komme frem til z - 6?

#6...Jeg ved, at polynomiet skal være p(z) = z - 6. Kan ikke helt se, hvordan den formel ville komme frem til z - 6?

Hvordan kan p(z) være z - 6, når det har graden 3, og når p(0) = 0 og p(1) = 6?

2a) Beregning af koefficienter til komplekst tredjegradspolynomium:

#5...Af det faktum, at (s₁+1) + (s₂+1)·i = 6 + 8·i er en rod i p(z), udledes, at z - (6 + 8·i) går op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z. Dvs. dividerer man z - (6 + 8·i) op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z, så giver dette et restled, hvor både realdel og imaginærdel skal give 0. Dermed kan a og b findes og dermed også c.

Dividerer man z - (6 + 8·i) op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z, så giver dette restleddet:

(-29·a + 5·b + 6) + 8·(12·a + b)·i 

For at dette skal give 0, så skal der gælde, at

(-29·a + 5·b + 6) = 0 ∧ 8·(12·a + b) = 0 ⇔ 

a = 6/89, b = -72/89 og c = 6 - (a+b) = 600/89

Dette giver forskriften

p(z) = (6/89)·z³ - (72/89)·z² + (600/89)·z

#8

2a) Beregning af koefficienter til komplekst tredjegradspolynomium:

#5...Af det faktum, at (s₁+1) + (s₂+1)·i = 6 + 8·i er en rod i p(z), udledes, at z - (6 + 8·i) går op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z. Dvs. dividerer man z - (6 + 8·i) op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z, så giver dette et restled, hvor både realdel og imaginærdel skal give 0. Dermed kan a og b findes og dermed også c.

Dividerer man z - (6 + 8·i) op i az³ + bz² + (6 - (a+b))z, så giver dette restleddet:

(-29·a + 5·b + 6) + 8·(12·a + b)·i 

For at dette skal give 0, så skal der gælde, at

(-29·a + 5·b + 6) = 0 ∧ 8·(12·a + b) = 0 ⇔ 

a = 6/89, b = -72/89 og c = 6 - (a+b) = 600/89

Dette giver forskriften

p(z) = (6/89)·z³ - (72/89)·z² + (600/89)·z

Hvordan får du det restled? Jeg kan ikke få det samme, med samme rødder

#8

Har brugt samme d(z) og p(z), men hverken jeg eller Maple får samme rest

#10. Hvad får du s₁, s₂ og s₃ til? Husk at det ikke er de samme tal for alle studerende.

#11
#10. Hvad får du s1, s2 og s3 til? Husk at det ikke er de samme tal for alle studerende.

Har brugt de samme tal for at se om jeg kunne få samme rest. Det kan jeg ikke, og kan hellere ikke få Maple til at få det samme.

#12. Hvad får du?

#13
#12. Hvad får du?

Jeg kunne ikke færdiggøre det, men jeg kunne hurtigt se, at jeg ikke ville få det samme. Men jeg har fået løst opgaven med mine værdier.

#13
#12. Hvad får du?

Jeg løste opgaven ved at faktorise (altså sætte p(z)=(z-0)(z-(rod)(z-(konjugerede)), udvide og reducere…