Matematik

Rotation af en punktmængde 360 grader, Vejen til Matematik A2, Opgave 288, Side 214, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

05. maj 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 288. Grafen funktionen:

f ( x ) = (1 / 16 ) • x² - ( 1 / 2 ) • x + 2

afgrænser sammen med linjerne x = 0 og x = t en punktmængde, som har et areal A ( t ).

a. Bestem A (5 )

5 5

A = ∫ ((1 / 16 ) • x² - ( 1 / 2 ) • x + 2 ) dx = [ ( 1 / 16 ) • ( 1 / 3 ) • x³ - ( 1 / 2 ) • ( 1 / ) • x ² + 2x ] =

0 0

( 1 / 48 ) • 5³ - ( 1 / 4 ) • 5 ² + 2 • 5 - ( ( 1 / 48 ) • 0³- ( 1 /4 ) • 0 ² + 2 • 0 ) = 6,354 = 6,35

Det samme facit som i facitlisten.

b. Bestem tallet t, så A ( t ) = 10

Jeg har anvendt Ti - 89 Titanium (Texas instrument) til at bestemme tallet t

Solve ( ( 1 / 48 • x³ - ( 1 / 4 ) • x ² + 2x = 10, x ) = 7,65

Det samme facit som i facitlisten

Mit spørgsmål er, er der en anden måde man kan bestemme tallet t, så A ( t ) = 10 på ?

Når Punktmængden med arealet A ( t ) roteres 360^o omkring x - aksen, fremkommer en figur med rumfanget V ( t )

c. Bestem rumfanget V ( t ).

Bruger følgende til at bestemme rumfanget V (5 ).

b = 5 og a = 0

V = π ∫ ( f ( x ) ² dx

Jeg har anvendt Ti - 89 Titanium (Texas instrument) til at bestemme:

( (1 / 16 ) • x² - ( 1 / 2 ) • x + 2) )² = ( x² - 8• x + 2) ² ) / (256)

Som regnet ud i hånden bliver til:

( x^2 - 8x + 2) ² ) / (256) = ( x⁴ - 8x³ + 32x² - 8x³ + 64x² -256x +32x² - 256x +1024) =

(x⁴ - 16x³+ 96x² - 512x +1024) • ( 1 / 256 ) som indsættes

5 5

V = π ∫ ( (1 / 16 ) • x² - ( 1 / 2 ) • x + 2) )² d x = π ∫ (( x² - 8• x + 2) ² ) / (256)d x =

0 0

π ∫ (x⁴ - 16x³+ 96x² - 512x +1024) • ( 1 / 256 ) dx =

[ π • ( 1 / 256)• (( 1 / 5 ) • x⁵ - 16 • ( 1 / 4 ) • x⁴ + 96 •( 1 / 3) • x³ - 512 • ( 1 / 2 ) • x² + 1024x ]

[ π ( 1 / 256) • (( 1 / 5 ) • x⁵ - 4x⁴ + 32x³ - 256x² +1024x) ] =

π ( 1 / 256) • ((( 1 / 5 ) • 5⁵- 4 • 5 ^?4 + 32 • 5³ - 256 • 5²+1024 • 5) - (( 1 / 5 ) • 0⁵ - 4 • 0⁴ + 32• 0³ - 256 • 5²+1024 • 5))) = 10,369 ≈ 10,37

Bogens facit er 26,73

Mit spørgsmål er hvad gør jeg forkert ?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Scan_20230504.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. maj 2023 af ringstedLC

#0
( x^2 - 8x + 2) ² ) / (256) = ( x⁴ - 8x³ + 32x² - 8x³ + 64x² -256x +32x² - 256x +1024) =

(x⁴ - 16x³+ 96x² - 512x +1024) • ( 1 / 256 ) som indsættes

En simpel regnefejl som du selv kunne have fundet, når nu resultatet ikke passer med facit og du gerne vil lave det i hånden.

Tip ved reduktion: Overstreg de adderede led mens der regnes. Reduktionen er slut, når alle led er streget ud.

Desuden "glemmes" brøkstregen i mellemregningen.

Svar #2
05. maj 2023 af ca10

Tak for svaret jeg ser næmere på det og går min reduktion igennem.

Svar #3
06. maj 2023 af ca10

(( x² - 8x + 32 )² ) / 256 = (( x² - 8x + 2 ) • ( x² - 8x + 32 )) / 256 =

(( x⁴ - 8x³ + 32x² -8x³ + 64x² - 256x + 32x² - 256x + 1024)) / 256 =

(( x⁴ - 16x³ + 128x² -512x + 1024 )) / 256 =

( 1 / 256 ) • ( x⁴- 16x³+ 128x²-512x + 1024)

Som indsættes i:

V = π • ∫ ( f ( x ) ) ² dx

a = 0 og b = 5

V = π • ∫( 1 / 256 ) • ( x^4 - 16x³ + 128x² - 512^x + 1024) dx =

π • ( 1 / 256 ) ∫ (x4 - 16x3 + 128x2 - 512x + 1024) 0

V = [ π • ( 1 / 256 ) • (( 1 / 5 ) • x⁵ -16 • ( 1 / 4 ) • 5 ⁴ + 128 • ( 1 / 3) • 5³ - 512 • ( 1 / 2 ) • 5² + 1024 • 5 )) ] =

π • ( 1 / 256 ) (( 1 / 5 ) • 5⁵-16 • ( 1 / 4 ) • 5 ⁴ + 128 • ( 1 / 3) • 5³ - 512 • ( 1 / 2 ) • 5² + 1024 • 5 -

( ( 1 / 5 ) • 0⁵ -16 • ( 1 / 4 ) • 0 ⁴ + 128 • ( 1 / 3) • 0³ - 512 • ( 1 / 2 ) • 0² + 1024 • 0 ))=

π • ( 1 / 256) • (( 1 / 5 ) • 5⁵-16 • ( 1 / 4 ) • 5 ⁴ + 128 • ( 1 / 3) • 5³ - 512 • ( 1 / 2 ) • 5²+ 1024 • 5 )) = 26,732

Nu passer det med facitlisten

Skriv et svar til: Rotation af en punktmængde 360 grader, Vejen til Matematik A2, Opgave 288, Side 214, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.