Hvordan kan en elektron blive frigjort fra atomets kerne?

For negative energier er elektronen bundet til kernen, fordi man har valgt at sige, elektronens potentielle energi er 0, når den lige præcis er frigjort fra kernen. Men det betyder ikke, at elektronen nogensinde har været i kernen, kun at den har været bundet til den pga. elektromagnetisk tiltrækning.

"Energier større end 0 svarer til, at elektronen er blevet frigjort fra kernen".

Det er energitilstanden af en hydrogen-ion.

så det vil sige at elektronen ikke er tiltrukket af kernen hvis den absorberer mere end de 13,6 eV, der vil få energien til at være større end 0? Og så er hydrogenatomet blevet en H+-ion eller hvad?

Præcis. Elektronen vil nu nok ret hurtigt binde sig til kernen igen, hvis den kun lige får tilført 13,6 eV, fordi den så bare ville "ligge og glo lige ved siden af kernen". Overskudsenergi (altså mere end 13,6 eV) vil man forvente bliver til kinetisk energi for elektronen, så den bevæger sig i en eller anden retning og er fri fra kernen. 

Elektronen vil altid være tiltrukket af kernen, men hvis den har positiv energi i forhold til kernen, vil tiltrækningen ikke være stor nok til at få elektronen tilbage. Den elektrostatiske kraft virker uendelig langt væk, men hvis elektronen er blevet slået fri med tilstrækkeligt stor energ, vil den fortsætte med at fjerne sig fra kernen, hvis ikke der er noget andet, der standser den.

Elektroner kan befinde sig inden i kernen, dog lille sandsynlighed.