Matematik

Hjælp til n´te grads polynomiet og betydning af x^n.

14. juni 2023 af Nann845a - Niveau: B-niveau

Hej :) Jeg skal til mat B eksamen i morgen, men mangler at få styr på noget vigtigt.

Igår var jeg til spørgetime, hvor min lærer forklarede noget om n´te grads polynomiet: Han forklarede, at på et tidspunkt vil x^n bliver det største tal i n´te gradspolynomiet. Hvis eksponenten er lige, vil x^n altid være positivt når vi kommer langt ud. Men hvis eksponenten er ulige, vil det afhænge af x.

Hvad vil afhænge af x? Om rødderne er ulige eller lige? Hvorfor vil x^n blive det største tal når vi kommer langt ud? Kan nogen give en generel forklaring på det her vedrørende n´te gradspolynomiet :)

Har søgt på nettet men kan ikke finde ydeligere forklaringer.

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
14. juni 2023 af apricotx

x er din variable, så den kan antage forskellige værdier.

Prøv at kigge på

$f(x)=x^3+100\cdot x^2$

(konstanten på 100 er bare valgt for at have et lidt stort tal uden alt for mange uoverskuelige nuller). Hvis x=10, så bliver 2. led mest dominerende, fordi $10^3<100\cdot 10^2$ , men efterhånden som x bliver større og større, begynder det første led "at overtage". Hvis x=100 er leddene lige store: $100^3=100\cdot 100^2$ , men hvis x=1000 er $1000^3>100\cdot 1000^2$ , og det bliver kun værre og værre, så til sidst betyder andet led nærmest ingenting for funktionsværdierne i forhold til første led. Og det samme gælder for negative x-værdier: Når x er tilpas stor, har det 2. led i praktisk nærsten ingen betydning. Så $f(x)\approx x^3$ for store (positive eller negative) værdier af x.

Præcis samme argument kan bruges om alle andre polynomier: Den største grad er dén, der vil ende med at blive dominerende.

Hvis nu graden (ikke rødderne) af polynomiet er lige (dvs. n er et lige tal), så vil man for (store) både positive og negative værdier af x få positive funktionsværdier, fordi $x^n>0$ uanset x. Så grafen kan tegnes fra et sted i 4. kvadrant i koordinatsystemet, lave lidt "buler" og så forsvinde opad i 1. kvadrant. Sådan en funktion har ikke nødvendigvis nogen rødder.

Men er graden af polynomiet ulige (dvs. n er et ulige tal), så er $x^n<0$ , når x<0, og $x^n>0$ , når x>0. Og så kan grafen tegnes fra et sted i 3. kvadrant, lave lidt "buler" og forsvinde opad i 1. kvadrant. Det kan kun ske, hvis grafen skærer 1. aksen mindst én gang. Så et polynomium af ulige grad har mindst én rod.

Brugbart svar (0)

Svar #2
14. juni 2023 af SuneChr

n ∈ N : xⁿ → $\infty$ for x → $\infty$ (*)
x^{n + 1}→ $\infty$ for x → $\infty$ (**)
Man skulle så forledes til at tro, at n ikke spiller nogen rolle, men (**) er, for samme x, løbet fra (*) ,
(**) har højere potens end (*) .

For en polynomiumsbrøk
$\frac{px^{n}+...}{qx^{n}+...}$ hvor n er højeste eksponent
gælder, at brøken → ^p/_q for x → $\infty$

Skriv et svar til: Hjælp til n´te grads polynomiet og betydning af x^n.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.