Niveaukurver og snit

Her er hvad jeg har gjort i del 1:

#0. Jeg indsætter billeder.

Opgaven

Dit svar til spørgsmål 1

#0. Du skal bruge formlen: z = x² - y² + y.

For niveuakurver (= snitkurver parallelle med xy-planen) har du, at z = konstant.

For snitkurver parallelle med xz-planen har du, at y = konstant.

For snitkurver parallelle med yz-planen har du, at x = konstant.

#0. Niveaukurver. Rød: k = -2, lilla: k = 0,26 og blå: k = 3. Første akse = x, anden akse = y.

#3

#0. Du skal bruge formlen: z = x² - y² + y.

For niveuakurver (= snitkurver parallelle med xy-planen) har du, at z = konstant.

For snitkurver parallelle med xz-planen har du, at y = konstant.

For snitkurver parallelle med yz-planen har du, at x = konstant.

Mange tak for svar.

Men jeg er stadig ikke helt med på hvordan jeg viser, at parablen vender "benene" opad  i xz-planen og "benene" nedad i yz-planen.

Er dette fint ift. besvarelse af opgave?

#6: Du har byttet om på planerne.

#5. Vi er enige om at xy-planen har ligningen z = 0 i et xyz-koordinatsystem?! I så fald gælder reglen, at den akse, der ikke indgår i planens navn skal være lig med 0! Det vil sige, at ligningen  for xz-planen er y = 0 og ligningen for yz-planen er x = 0. Hvilket igen vil sige, at planer parallelle med
- xy-planen har ligningen z = k, 
- xz-planen har ligningen y = k, 
- yz-planen har ligningen x = k,
hvor k ∈ R.

En snitflade parallel med xz-planen har y = k. Dette giver så: z = x² - k² + k ⇒ z = x² + K. Dette er en parabel med benene opad i et koordinatsystem, hvor førsteakse er x-aksen og andenakse er z-aksen.

Tilsvarende for en plan parallel med yz-planen, hvor x = k, hvilket giver: z = k² - y² + y ⇒ z = -y² + y + K. Dette er en parabel med benene nedad i et koordinatsystem, hvor førsteakse er y-aksen og andenakse er z-aksen.

#4. 4) Kurven tegnet i Google.

# 1, vedhæftede

Viser snitkurverne beliggende i parallelplaner til xy planen.
Kan du også vise, at disse kurver  i k k e  er parabler men hyperbler, - og hvorfor?
_{Lille hjælp:  Den generelle ligning for den hyperbolske paraboloide.}

#9 Rettelse: grøn akse er y og rød er x.

#8 Okay, mange tak for et meget brugbart svar. Vil det være en god ide, at komme med et eksempel altså indsætte et tal ind for k - eller er det "fint bare", at skrive den "generelle regel" som du har forklaret for mig? :) Og hvordan vil man kunne gribe opgave 3 an? - jeg har ikke lavet en opgave før hvor man har skulle beskrive en graf på denne måde.

#5. Vi er enige om at xy-planen har ligningen z = 0 i et xyz-koordinatsystem?! I så fald gælder reglen, at den akse, der ikke indgår i planens navn skal være lig med 0! Det vil sige, at ligningen  for xz-planen er y = 0 og ligningen for yz-planen er x = 0. Hvilket igen vil sige, at planer parallelle med
- xy-planen har ligningen z = k, 
- xz-planen har ligningen y = k, 
- yz-planen har ligningen x = k,
hvor k ? R.

En snitflade parallel med xz-planen har y = k. Dette giver så: z = x2 - k2 + k ? z = x2 + K. Dette er en parabel med benene opad i et koordinatsystem, hvor førsteakse er x-aksen og andenakse er z-aksen.

Tilsvarende for en plan parallel med yz-planen, hvor x = k, hvilket giver: z = k2 - y2 + y ? z = -y2 + y + K. Dette er en parabel med benene nedad i et koordinatsystem, hvor førsteakse er y-aksen og andenakse er z-aksen.

#0. Løsningsforslag:

1) Nedenstående kontur-plot eller niveaukurve-plot er lavet i Geogebra. 

Disse kurver er retvinklede hyperbler for k ≠ 0,25 (for k = 0,25 er det et retvinklet kryds). Dette kan vises ved følgende omskrivning: 

Dette viser, at
- hyperblernes centrum er (x,y) = (0,1/2), (...tallene efter "x -" og "y -"  i tæller-parenteserne)
- hyperbelgrenene ligger over og under centrum for k < 1/4, (...x-leddet bliver negativt)
- hyperbelgrenene ligger til venstre og højre centrum for k > 1/4 (...x-leddet bliver positivt) og
- hyperbelgrnenes asymptoter skærer hinanden i en ret vinkel, da x- og y-leddene divideres med samme tal.

#13. Angående krydset: k = 1/4:

#0. Svar på spørgsmål 2): 

#7...

Glad = grenene opad og Sur = grenene nedad.

#0. Svar på spørgsmål 3): Niveaukurverne er hyperbler og snitflade-kurverne er parabler. Hele kurven er derfor en hyperbolsk paraboloide eller en saddel.

#0. Svar på spørgsmål 4):

Kurven set i perspektiv. Det ses at der er tale om en saddel:

Kurven set vinkelret på xy-planen, vinkelret på xz-planen og vinkelret på yz-planen:

Billede 1 fra venstre: Det ses af farverne, at konturkurverne parallelle med xy-planen er hyperbler.
Billede 2 og 3: Snitkurverne parallelle med xz-planen og yz-planen ses at være parabler. 

#17

#0. Svar på spørgsmål 4):

Kurven set i perspektiv. Det ses at der er tale om en saddel:

Kurven set vinkelret på xy-planen, vinkelret på xz-planen og vinkelret på yz-planen:

Billede 1 fra venstre: Det ses af farverne, at konturkurverne parallelle med xy-planen er hyperbler.
Billede 2 og 3: Snitkurverne parallelle med xz-planen og yz-planen ses at være parabler. 

Mange tak for nogle rigtig gode og uddybende svar - det sætter jeg stor pris på :)