Matematik

Stationære punkter og ekstrema

21. september 2023 af cecilie1606 - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har lavet opgave 1 i denne her opgave, men kan simpelthen ikke komme videre - jeg kan ikke finde ud af bestemme det stationære punkt - synes ikke jeg kan få det til at passe når jeg regner det ud - jeg får det til ({x = 1.762496376, y = 1.762496376)

Vedhæftet fil: Øvelse 8.4.5.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2023 af M2023

#0. Jeg indsætter billedet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}\textbf{1.}\\& \textup{Et udtryk for det }\\ &\textup{samlede areal:}\\&& A(x,y)=x^2+y^2+\left (36-x-y \right )^2 \end{array}$

Svar #3
21. september 2023 af cecilie1606

#2
$\small \begin{array}{llllll}\textbf{1.}\\& \textup{Et udtryk for det }\\ &\textup{samlede areal:}\\&& A(x,y)=x^2+y^2+\left (36-x-y \right )^2 \end{array}$

Jeg har facitlisten for hele opgaven - og den siger at svaret på opgave 1 er som jeg har skrevet: A(x,y) = x^2*y^2+(9-x-y)^2.

Det er også derfor jeg simpelthen ikke kan finde ud af at komme videre derfra, da jeg ikke synes resultatet giver mening.

Brugbart svar (1)

Svar #4
21. september 2023 af Eksperimentalfysikeren

Der er en skrivefejl i facitlisten. Du kan se det ved dimensionsanalyse:

x er en længde og y er en længde. x² er en længde gange en længde, hvilket er et areal. Det samme gælder y². x²y² skulle så være et areal i anden, men det findes ikke i vor tredimensionale verden.

Den sidste parentes er også en længde (bortset fra at der burde stå 9m), så dette led er også et areal. Skal dimensionerne passe, skal der stå x²+y² +(9m-x-y)².

Det er korrekt, at der skal stå 9, for det første kvadrat bruger 4x og det andet 4y af de 36, så der er 36-4x-4y tilbage, som skal deles mellem 4 sider.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. september 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{2.}\\& A(x,y)=2x^2+2y^2+2 x y-72x-72y+1296\\ \\& \textup{den afledede mht x: }\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_x{}'\left ( x,y \right )=4x+2y-72\\& \textup{den afledede mht y: }\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_y{}'\left ( x,y \right )= 4y+2x-72 \\\\\\& \textup{Station\ae re punkt:}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \textup{solve}\left (4x+2y-72=0 \; \textup{and} \; 4y+2y-72=0,x,y\right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. september 2023 af mathon

Rettelse:
$\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{1.}\\& \textup{Et udtryk for det }\\ &\textup{samlede areal:}\\&& A(x,y)=x^2+y^2+\left (36-4x-4y \right )^2 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. september 2023 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{2.}\\& A(x,y)=17x^2+17y^2+32 x y-288x-288y+1296\\ \\& \textup{den afledede mht x: }\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_x{}'\left ( x,y \right )=34x+32y-288\\& \textup{den afledede mht y: }\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_y{}'\left ( x,y \right )= 34y+32x-288 \\\\\\& \textup{Station\ae re punkt:}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \textup{solve}\left (34x+32y-288=0 \; \textup{and} \; 34y+32x-288=0,x,y\right ) \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #8
21. september 2023 af Eksperimentalfysikeren

#6: du har glemt at dividere med 4. Det korrekte udtryk er x²+y² +(9-x-y)².

Arealet bliver A(x,y) = 2x²+2y+2xy-18x-18y+81

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. september 2023 af mathon

2. rettelse:

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{2.}\\& A(x,y)=2x^2+2y^\textbf{{\color{Red} 2}}+2 x y-18x-18y+81\\ \\& \textup{den afledede mht x: }\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_x{}'\left ( x,y \right )=4x+2y-18\\& \textup{den afledede mht y: }\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad A_y{}'\left ( x,y \right )= 4y+2x-18 \\\\\\& \textup{Station\ae re punkt:}\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \textup{solve}\left (4x+2y-18=0 \; \textup{and} \; 4y+2x-18=0,x,y\right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}\textbf{3.}\\& \textup{Punkttype:}\\&& A_{xx}{}''(x,y)=4\\\\&& A_{yy}{}''(x,y)=4\\\\&& A_{xy}{}''(x,y)=2\\\\\\&& A_{xx}{}''(x,y)\cdot A_{yy}{}''(x,y)-A_{xy}{}''(x,y)^2=4\cdot 4-2^2=12>0\\\\&\textup{da}\\&& A_{xx}{}''(3,3)>0 \textup{ og }A_{xx}{}''(3,3)\cdot A_{yy}{}''(3,3)-A_{xy}{}''(3,3)^2>0\\&\textup{har}\\&&A(x,y)\textup{ minimum i }(3,3). \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. september 2023 af mathon

$\small A(x,y)_{\textup{min}}= 2\cdot 3^2+2\cdot 3^2+2\cdot 3\cdot 3-18\cdot 3-18\cdot 3+81=27$

Skriv et svar til: Stationære punkter og ekstrema

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.