Matematik

Bestem den løsning f(x)til hvis graf går gennem punktet...

21. september 2023 af Anonym706 - Niveau: A-niveau

Bestem den løsning f(x)til y' = -(2x+5)y = 0, hvis graf går gennem punktet (1,e).

Jeg er ret sikker å at man skal bruge formlen y' + a(x) * y = b(x) med den fuldstændige løsning værende
y = e^-A(x) ∫b(x)*^-A(x)dx+c*e^-A(x), hvor A(x) er stamfunktionen til a(x).

Men jeg ved ikke hvordan man kommer til dette, altså hvordan man separerer variablerne først.
Jeg er heller ikke helt sikker på, om dette er måden at løse opgaven.

Hvis jeg er på rette vej, og hvis ikke, er der nogle der kan hjælpe mig med at få startet opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2023 af peter lind

Du skal bare flytte alt over på venstre side og ja det er netop den formel du skal bruge

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} y{\, }'+(2x+5)y=0\\\\ y=e^{-(x^2+5x)}\cdot \int 0\cdot e^{(x^2+5x)}\,\mathrm{d}x=e^{-(x^2+5x)}\cdot \int 0\,\mathrm{d}x\\\\ y=C\cdot e^{-(x^2+5x)} \end{array}$

Man separerer ikke de variable
men benytter:
$\small \begin{array}{llllll}&& y{\, }'=b-a(x)y\\\textup{har l\o sningen:}\\&&y=e^{-A(x)} \cdot \int b\cdot e^{ \, A(x)}\,\mathrm{d}x\\\\&& y=e^{-A(x)} \cdot \left ( \frac{b}{a(x)}\cdot e^{A(x)}+C \right )\\\\&&y=Ce^{-A(x)}+\frac{b}{a(x)} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textup{gennem punktet }(1,e)\textup{ kr\ae ver:}\\\\&& e=C\cdot e^{-(1^2+5\cdot 1)}\\\\&& C=\frac{e^1}{e^{-6}}=e^7\\ \textup{hvoraf:}\\&&y=e^7\cdot e^{-x^2-5x}\\\\\\&& y=e^{-x^2-5x+7} \end{array}$

Svar #4
21. september 2023 af Anonym706

Hvilken en af disse ligninger bruge du når du bruger y' = b - a(x)y?

Jeg kan ikke se den i min formelsamling.

Vedhæftet fil:Differentialligninger.png

Svar #5
21. september 2023 af Anonym706

Men ellers giver løsningen meget god mening. Tusind tak!

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. september 2023 af M2023

#4. Hvilken en af disse ligninger bruge du når du bruger y' = b - a(x)y?

Den sidste.

Skriv et svar til: Bestem den løsning f(x)til hvis graf går gennem punktet...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.