Matematik

Partiel integration

23. oktober 2023 af Lalode - Niveau: A-niveau

Hej

jeg er i gang med at lærer om partiel integration, og skal løse:

$\int x*ln(x) dx$

Jeg har indtil vidre at jeg skal bruge:

$F(x)*g(x)-\int F(x)*g'(x) dx$

Jeg har valgt at f(x) = x => F(x) = 1/x

g(x) = ln(x) => g'(x) = (1/2) *x^2

Når jeg sætter det ind får jeg så:

$\frac{1}{x}*ln(x)-\int \frac{1}{x}*\frac{1}{2}*x^{2}$

Det kan jeg vist reducerer ned til:

$\frac{1}{x}*ln(x)-\int \frac{x}{2}$

Og så kan jeg ikke finde ud af hvordan jeg skal komme længere med opgaven, er der en som kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. oktober 2023 af Anders521

#0 Det ser rigtigt ud indtil videre. Du mangler blot leddet

$\small \small \int \frac{x}{2} \, \,\textup{d}x$

hvilket er det samme som

$\small \frac{1}{2}\cdot \int x \, \, \textup{dx}$

Hovsa, ...ved nærmere omtanke er der noget galt med det første led.

Svar #2
23. oktober 2023 af Lalode

Så den kommer til at hedde:

$\frac{1}{x}*lnx-\frac{1}{2}\int x dx$

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. oktober 2023 af peter lind

Du skal sætte f(x) = x, g(x) = ln(x)

Svar #4
23. oktober 2023 af Lalode

Er det ikke det jeg har gjordt?

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. oktober 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}&& \int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=&x\cdot \left ( x\cdot \ln(x)-x \right )-\int \left ( x\cdot \ln(x)-x \right )\cdot 1\,\mathrm{d}x=\\\\&&&x^2\cdot \left ( \ln(x) -1\right )-\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x+\int x^2\,\mathrm{d}x\\\\&&& 2\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=x^2\cdot \left ( \ln(x) -1\right )-\frac{1}{3}x^3+k_1\\\\&&& \int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2\cdot \left ( \ln(x) -1\right )-\frac{1}{6}x^3+k \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
23. oktober 2023 af mathon

Forbedring:
$\small \small \small \begin{array}{llllll}&& \int x\ln(x)\,\mathrm {d}x=&\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\cdot \int x^2\cdot \frac{1}{x}\,\mathrm {d}x=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\cdot \int x\,\mathrm {d}x=\\\\&&& \frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{4}x^2+k \end{}$

Svar #7
23. oktober 2023 af Lalode

Er den sidste linje så bare svaret hvis opgaven går ud på at jeg skal angive det ubestemte intergral ved at bruge partiel intergration?

Brugbart svar (0)

Svar #8
23. oktober 2023 af mathon

Ja.

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. oktober 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} f(x) &= x &{\color{Red} \Rightarrow}\; F(x) &= \tfrac{1}{2}x^2 \\ g(x) &= \ln(x) &{\color{Red} \Rightarrow}\; g'(x) &= \tfrac{1}{x} \\ \int\!x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d} x &= F(x)\cdot g(x)-\int\!F(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x \\&= \tfrac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int\!\tfrac{1}{2}x^2\cdot \tfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x \\ &= \tfrac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\tfrac{1}{2}\int\!x\,\mathrm{d}x \\ &= \tfrac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2}x^2 \\ \int\!x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d} x &= \tfrac{1}{2}x^2\cdot \bigl(\ln(x)-\tfrac{1}{2}\bigr)+k \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. oktober 2023 af mathon

Korrektion af #5

$\small \begin{array}{llllll}&& \int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=&x\cdot \left ( x\cdot \ln(x)-x \right )-\int \left ( x\cdot \ln(x)-x \right )\cdot 1\,\mathrm{d}x=\\\\&&&x^2\cdot \ln(x) -x^2-\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x+\int x\,\mathrm{d}x\\\\&& 2\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=&x^2\cdot \ln(x) -x^2+\frac{1}{2}x^2+k_1=x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}x^2+k_1\\\\&& \int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=&\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x) -\frac{1}{4}x^2+k \end{array}$

Svar #11
23. oktober 2023 af Lalode

Tak for hjælpen

Skriv et svar til: Partiel integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.