Tangent for ligning

Hej - Mon ikke det er punktet (1, f(1))?

Opgaven

En funktion f er bestemt ved f ( x ) = ( x² + 3x ) • ln ( x ),    x > 0

a) Bestem en ligning for tangenten i ( 1, f ' ( 1 ))

Prøv følgende:

Tangenten har ligningen y = f ( x₀ ) + f ' ( x₀ ) • ( x - x₀ )

Som det muligvis står i din matematikbog

Formlen for en ret linje der går gennem et kendt punkt ( x₀ , y₀ ) og har hældning a :

y - y₀ = a ( x - x_{0 )} 

Start med at bestemme differentialkvotienten, da Hældningen a er lig med differentialkvotienten:

Da 

f '  ( x ) = (( x² + 3x ) • ln ( x )) ' = ( x² + 3x)' • ln ( x ) + ( x² + 3x ) • ( ln ( x ))' =.......  

og udnyt oplysningen ( 1, f ' ( 1 )) så skulle du kunne bestemme en ligning for tangenten i ( 1, f ' ( 1 )).

a)

Til blis 1204 har du fået løst opgaven?

 I mit svar#2 til blis 1204

skriver jeg:

Tangenten har ligningen y = f ( x₀ ) + f ' ( x₀ ) • ( x - x₀ )  og

f ' ( x ) = (( x² + 3x ) • ln ( x )) ' = ( x² + 3x)' • ln ( x ) + ( x² + 3x ) • ( ln ( x ))'

Til svar #4 ringstedLC

Du skriver:

y = f '' ( 1 ) • ( x - 1) + f ' ( 1)

Kan du ikke forklare nærmere hvordan du er kommet frem til  y = f '' ( 1 ) • ( x - 1) + f ' ( 1).

På forhånd tak

En tangent er ret linje, der tangerer et objekt i et røringspunkt.

Da røringspunktet her er (1, f '(1)) må objektet være f '.

Til Svar #6 ringstedLC

Jeg er klar over at en tangent er en ret linje, der tangerer et objekt i et røringspunkt.

Lad f være en funktion, der er differentiabel i x₀. Den linje, der går gennem P₀  ( x₀ , f ( x₀ ) på  grafen og som har hældningskoefficient f ' ( x₀ ) kaldes grafens tangent i P₀ .

Tangenten har ligningen

y = f ( x₀  ) + f ' ( x - x₀ )

Og 

Opgaven lyder:

En funktion f er bestemt ved f ( x ) = ( x² + 3x ) • ln ( x ),    x > 0

a) Bestem en ligning for tangenten i ( 1, f ' ( 1 ))

07. februar kl. 21:39 af ringstedLC

 I dit svar #4 skriver du:

y = f '' ( 1 ) • ( x - 1 ) + f ' ( 1 )

Man har den oplysning at x₀ = 1. Tallet 1 sætter du på x₀ plads i ligningen.

Det jeg ikke forstår ved din løsning er, at i det første led står der f '' og i det andet led står og i det andet led står f ' .

Min løsning på er spørgsmål a) er følgende:

Jeg begynder med at bestemme differentialkvotienten:

f '  ( x ) = (( x² + 3x ) • ln ( x )) ' = ( x² + 3x)' • ln ( x ) + ( x² + 3x ) • ( ln ( x ))'

            = ( 2x + 3 ) • ln ( x ) + ( x² + 3x ) • 1 / x 

Jeg indsætter x = 1 i f '  ( x ) 

f ' ( 1 ) = ( 2 • 1² + 3 ) • ln ( 1 ) + ( 1² + 3 • 1 ) • 1 / 1

         =  5 • 0 + ( 1 + 3 ) • 1

         = 4

Jeg bestemmer tangentens ligning:

 y - y₀ = f ' ( x ) • ( x - x₀ )

En funktion f er bestemt ved f ( x ) = ( x² + 3x ) • ln ( x ),    x > 0  

 y -  (1² + 3 • 1 ) • ln (1) = 4 • ( x - 1)

y - 0 =    4x - 4

y = 4x - 4

Da din løsning y = f '' ( 1 ) • ( x - 1 ) + f ' ( 1 ) ser anderledes ud end min, er mit spørgsmål om min løsning af a) Bestem en ligning for tangenten i ( 1 , f ' ( 1 )) , er forkert ?.

På forhånd tak

Det er den fordi du bestemmer ligningen for (1, f(1)), - og ikke for (1, f '(1))

Tak for svaret

Til Svar #8 ringstedLC

Så har jeg misforstået opgaven.

Jeg ved ikke hvordan man bestemmer ligningen for tangenten for  ( 1, f ' ( 1 ) ).

Kan du så ikke vise hvordan man bestemmer ligningen for tangenten for ( 1, f ' ( 1 )) for jeg kan ikke.

På forhånd tak

Tak for svaret

Til #7 

En opgave i stil med denne, er ofte formuleret i retning af: "Bestem en ligning for tangenten til grafen for ... i punktet (x₀ , ..)." 

I lige netop den her opgave, står der blot "Bestem en ligning for tangenten i (1, f '(1))." Altså er det ikke direkte givet af opgaven, at vi skal bestemme en ligning for tangenten til grafen for den afledede funktion til f i punktet (1, f '(1)).

Altså, som RingstedLC også meget fint har formuleret i #6, er det underforstået, at vi skal bestemme en tangent til grafen for den afledede funktion til f, idet vores x₀ (det punkt ønsker at finde tangenten i), knytter funktionsværdien

f '(x₀). Det må betyde, at punktet vi ønsker at finde tangenten i, ligger på grafen for f '. 

Jeg forstår udemærket din undring omkring opgaven - og jeg var, som det ses af #1, selv i tvivl hvorvidt de ikke mente punktet (1, f(1)), idet jeg endnu ikke har set en opgave på B-niveau, hvor der bedes bestemmes en tangent til grafen for den afledede funktion og ud fra det faktum, at der ikke eksplicit var gjort opmærksom at tangenten skulle bestemmes til grafen for f '.

Helt generelt gælder for en given funktion f, at der for enhver værdi af x (i definitionsmængden) hører netop en funktionsværdi betegnet f(x). Alle disse punkter (x, f(x)) vil da ligge på grafen for f. 

Samme gælder for funktionen f ' (den situation vi har fra opgaven her). Hvis vi blot betragter f ' som en anden given funktion, gælder altså ligeledes at der for enhver værdi af x hører netop en funktionsværdi, nu bare betegnet

f '(x). Alle disse punkter (x, f '(x)), parallelt med overstående, vil da ligge på grafen for f '.

_______________________________________________________________________________________

Skriver vi ligningen for en tangent op med tekst, vil ligningen for en tangent altid have følgende form:

y = funktionsværdien hørende til det punkt hvori vi ønsker at finde tangenten + den afledede funktion til den funktion, vis graf vi ønsker at bestemme en tangent til, taget i det punkt hvori vi ønsker at finde tangenten 

· (en variabel - x-værdien til det punkt hvori vi ønsker at finde en ligning for tangenten).

_______________________________________________________________________________________

Alternativt, kunne vi også blot sætte den afledede til f lig med en anden funktion g.

Altså, lad

f '(x) = g(x).

Tangentes ligning i punktet (x₀ , f '(x₀)) vil da være givet ved:

y = f '(x₀) + f ''(x₀)(x - x₀) = g(x₀) + g '(x₀)(x - x₀). 

* Da f ' er lig med g.

Ved at sætte den afledede funktion til f lig med en anden funktion g, er det (forhåbentligt) blevet mere klart at se, at ligningen for tangenten stadigvæk bare er den samme og som, så vidt jeg har forstået dit spørgsmål rigtigt, var en af de ting du også undrede dig over i #7.

Jeg håber ikke, at jeg bare har forvirret med alt dette..

Tak for svaret

Til Svar # 12 MentoMath.

Jeg synes at det giver god mening det du siger om hvordan man skal tolke opgaven.

Derfor forstår jeg bedre ringstedLC's  løsning.

I øvrigt oplyser blis 1204 der har stillet spørgsmålet og som jeg forsøgte at besvare, ikke hvilken matematik bog de anvender.

#13

Selv tak - Dejligt at høre, at det giver god mening! 

Hele tanken bag indlægget i #12 var faktisk ligenetop, med ord, at koble dine undringer i #7 sammen med beregningen i #10, så du havde en ide om, hvordan du skulle fortolke matematikken i det - så det er virkelig super at høre. 

I forhold til, at #0 ikke har angivet hvilken bog opgaven er givet fra, giver jeg dig helt ret i, at det ofte kan være fordelagtigt at have med. Så vidt jeg kan komme i tanke om, er du vist en af de eneste brugere på siden, der konsekvent vedlægger hvilket matriale opgaverne, der spørges om hjælp til, er taget fra - bliv endelig ved med det!:)

Tak for svaret