Matematik

Forskellige fremstillingsformer for rette linjer?

04. juni 2024 af anonymousbruger - Niveau: B-niveau

Hej!

Hvilke fordele og begrænsninger har disse forskellige fremstillingsformer for rette linjer — parameterfremstilling og linjens ligning? Jeg har bl.a. skrevet i fordele at ved linjens ligning kan man aflæse normalvektoren og punkten på linjen og ved parameterfremstilling punkten på linjen og retningsvektor.

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. juni 2024 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\y-y_o \end{pmatrix}=0&\textup{med normalvektor }\overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)\textup{ og }\textup{fixpunkt }\left ( x_o,y_o \right )\\\\ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}&\textup{med retningsvektor }\overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} c\\d \end{smallmatrix}\bigr)\textup{ og fixpunkt }\left ( x_o,y_o \right )\\\\ y=a\cdot x+b&\textup{med retningsvektor }\overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\a \end{smallmatrix}\bigr)\textup{ og fixpunkt }\left ( 0,b \right ) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. juni 2024 af mathon

01. juni kl. 19:26 af ringstedLC

Vinklen mellem to vektorer:

$\begin{align*} \cos(v) &= \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} &&\textup{formel (52)} \\ &= \frac{a_1\,b_1+a_2\,b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\cdot \sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}} &&,\;\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\;,\;\vec{b}=\binom{b_1}{b_2} \end{align*}$

Den kan altså beregnes når de to vektorers koordinater er kendte.

Vinklen mellem to linjer afhænger af hvordan linjerne er beskrevet:

- er de opgivet fx ved ligningerne:

$\begin{align*} l:0 &=a_1\,x+a_2\,y+c \Rightarrow \vec{n}_l=\binom{a_1}{a_2} \\ m:0 &=b_1\,x+b_2\,y+c \Rightarrow \vec{n}_m=\binom{b_1}{b_2} \end{align*}$

haves linjernes normalvektorer og formel (52) anvendes.

- er de opgivet fx ved ligningerne:

$\begin{align*} l:y &=a_l\,x+b_l\Rightarrow \vec{\,r}_l=\binom{1}{a_l} \\ m:y &=a_m\,x+b_m \Rightarrow \vec{\,r}_m=\binom{1}{a_m} \end{align*}$

haves linjernes retningsvektorer og igen kan formel (52) anvendes. Dette gælder selvsagt også ved parameterfremstillinger af linjerne.

- eller:

$\begin{align*} l: y &= \tan(v_l)\cdot x+b_l &&,\; \tan(v_l)=a_l &&\textup{formel (66)} \\ m: y &= \tan(v_m)\cdot x+b_m &&,\;\tan(v_m)=a_m \\ v &= \big|v_l-v_m\bigr| \\ \Rightarrow v &= \big|\tan^{-1}(a_l)-\tan^{-1}(a_m)\bigr|\end{align*}$

Endeligt: Hvis linjerne er opgivet på en blanding af formerne må der omskrives til det mest praktiske.

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. juni 2024 af oppenede

Fordelen ved parameterfremstillingen er at den er direkte genereliserbar, da forskellen mellem 1d, planet, rummet, 4d, osv. blot er antallet af tal i vektorerne.

Fordelen ved y = ax + b, er at der kun er 2 parametre (a og b), men ulempen er at linjen x = 0 ikke kan representeres uanset valget af a og b.

At sige du kan aflæse et punkt fra linjens ligning er upræcist, da den tit er angivet på formen ax + by + c = 0.

Du skriver normalvektoren, selvom der er uendeligt mange. Hvis (2,3) er en normalvektor så er (20,30) det f.eks. også.

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. juni 2024 af ringstedLC

Parameterfremstillingen parallelforskydes nemt:

$\begin{align*} \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot\binom{r_1}{r_2}\;,\;t\in\mathbb{R} \\ \binom{x'}{y'} &= \binom{x_0+F_1}{y_0+F_2}+t\cdot\binom{r_1}{r_2}\;,\;\binom{F_1}{F_2}=\overrightarrow{F} \end{align*}$

Ligningen på normalvektorform er mere besværlig at parallelforskyde.

Brugbart svar (0)

Svar #5
04. juni 2024 af SuneChr

Lad linjens ligning være givet ved

ax + by + c = 0

og lad endvidere linjen med denne ligning parallelforskyde efter vektor $\binom{p}{q}$ .

Linjen afbildes da i linjen med ligningen
a(x - p) + b(y - q) + c = 0 ⇔ ax + by + (c - ap - bq) = 0.
Her ser vi, at alene konstantleddet påvirkes af parallelforskydningen.

Brugbart svar (0)

Svar #6
20. juli 2024 af mathon

Haves linjernes ligninger:
$\small \begin{array}{lllllll} \begin{align*} y=&a_l\cdot x+b_l\\ y=&a_m\cdot x+b_m \end{} \end{}$
og for retningsvinklerne:

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \tan(v_l)=a_l\\ \tan(v_m)=a_m$

$\small \small \begin{array}{lllllll} \tan(\delta)=\tan(v_l-v_m)=\frac{\tan(v_l)-\tan(v_m)}{1+\tan(v_l)\cdot \tan(v_m)}=\frac{a_l-a_m}{1+a_l\cdot a_m}\\\\ \delta=\tan^{-1}\left (\frac{a_l-a_m}{1+a_l\cdot a_m} \right ) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. august 2024 af mathon

Haves linjernes ligninger:
$\small \begin{array}{lllllll} \begin{align*} y=&a_l\cdot x+b_l\\ y=&a_m\cdot x+b_m \end{} \end{}$

erstattes af:

Haves linjernes ligninger:
$\begin{array}{llllll}l\textup{: } \;y=a_lx+b_l\\\\ m\textup{:}\;y=a_mx+b_m \end{}$

Skriv et svar til: Forskellige fremstillingsformer for rette linjer?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.