Differentiering af sammensatfunktion

Hej, jeg tror at jeg selv fandt ud af det. Undskyld ulejligheden.

Differentiering af sammensat, sammensat funktion

Indre funktioner:
                                  

(#0)

f '(t) = (¹/₂)·cos(2·t) er ikke korrekt.

#1 

Du skal bestemt ikke undskylde for noget.

Eksemplet viser hvad navnet 'kædereglen' er udsprunget af (det vil blive klart hvorfor, når vi ser på eksemplet).

Indskydelse og bemærkning:

Først og fremmest kan vi omskrive udtrykket da (cos(2·t))^1/2 := √((cos(2·t) hvis cos(2·t) ≥ 0 (t ∈ [^3π/₄, ^π/₄]).

Vi forudsætter derfor at funktionen har definitionsmængden {t | t ∈ [^3π/₄, ^π/₄] }, hvis t er vinklen (argumentet) målt i radianer. Dette burde være givet i opgaven.

Tilbage til selve opgaven:

Vi har altså at

f : [^3π/₄, ^π/₄] → R_≥0 (skrivemåden betyder "bare" at funktionen tager værdier af t fra intervallet [^3π/₄, ^π/₄] og at funktionsværdierne ("de værdier vi får ud af funktionen") er reelle tal større end eller lig med nul),

f(t) = √((cos(2·t)).

Når vi skal differentiere et udtryk bestående af en sammensat funktion bruger vi (som du helt korrekt nævner) kædereglen. Vi bruger kædereglen ved at arbejde os "udefra og ind" forstået på den måde at vi har kvadratrodsfunktionen som ydre funktion og udtrykket under kvadratrodstegnet som indre funktion.

Heraf får vi altså den ydre funktion differentieret (med hensyn til den indre fastholdt) ganget med den indre funktion differentieret.

Vi ser nu at den indre funktion cos(2t), den er markeret med (*), selv er en sammensat funktion idet at (*) har cosinusfunktionen som ydre funktion og 2t som indre funktion.

Vi differentierer nu (på samme måde som før) udtrykket cos(2t) ved brug af kædereglen. Bemærk: Nu er cosinusfunktionen den ydre funktion mens 2t er den indre funktion.

Slutteligt reducerer vi udtrykket ved at forkorte brøken med 2.

Som det (forhåbentligt) ses kaldes reglen for kædereglen da vi i eksemplet her, ender med at skulle bruge kædereglen igen og igen. Vi ender altså med en "kæde" af funktionsudtryk.

Jeg håber at det fremgår klart - ellers skriver du endelig bare hvis du har spørgsmål hertil.

Hej igen.

Altså differentiere man cosinus, får man så ikke minus sinus? Og differentiere man minus sinus får man så ikke minus cosinus? Mangler der ikke et minus tegn ved facit. 

#4 

Hej igen!

Undskyld.

Jeg skal vist lige i gang igen efter sommerferien... Jeg så mig vist så blind på at skulle formidle det på en meningsfuld måde, at jeg fuldstændigt glemte (og endda overså) at differentiere cosinus. Jeg beklager mange gange.

(cos(x))' = -sin(x).

Vi får altså (1/(2√(cos(2t))))·(-sin(2t)·2) = -sin(2t)/(√(cos(2t))). 

Jeg håber ikke at jeg har lavet flere smuttere. Ellers må du råbe op hvis der er noget du sætter spørgsmålstegn ved.

Rettelse af #3

#4

Altså differentierer man cosinus, får man så ikke minus sinus? 

Du har helt ret i at cosinus selvfølgelig ikke har sig selv som afledede funktion... og det er helt korrekt at når man differentierer cosinus, så får man minus sinus.

Og differentierer man minus sinus, får man så ikke minus cosinus? 

Det er korrekt også :)

Kan man på en eller anden måde omskrive dette udryk ved hjælp af trigonometriske identiteter?

#8

Det er et virkelig godt spørgsmål -og jeg overvejede det selv.

Umiddelbart kan jeg ikke se at vi kan komme det nærmere så det tror jeg ikke at vi kan, men jeg tør ikke at give et endeligt svar på det. Jeg vil dog meget gerne prøve at undersøge det.

Hej igen. Jeg har et samlet udtryk som jeg egentlig gerne ville vise her. Men jeg kan ikke få equation editor til at virke. Har (I) en mail som jeg må henvende mig på? Jeg har forsøgt at smide udtrykket ind i Wolfran Alpha men uden videre succé.

Hej igen - Jeg har delt min email med dig her på Studieportalen.