Dobbeltpunkter og t værdier

a) Tegn kurven og afsæt punktet π / 3.

b) Punktet ligger på en af akserne. Hvis det fx er x-aksen sættes y(t) = 0 og ligningen løses (husk intervallet).

ad b) Ligningen har seks løsninger. Tre af dem giver kurven en positiv værdi og af dem, er den ene = "15". De to andre løsninger giver dobbeltpunkterne.

c) Prøv at se om du kan selv!

#0. Løsning i Geogebra.

A er punktet for t = 0.

a) B er punktet for t = π/3. Punktets x,y-koordinater er: (10·cos(π/3) + 5·cos(-π),10·sin(π/3) + 5·sin(-π)) = (0,8.660).

b) C er punktet for t = π/2. Dette findes ved en symmetribetragtning, idet yderpunkterne er jævnt fordelt med afstanden 2π/4 = π/2. Den anden t-værdi, der giver punktet B, må ligge lige så langt efter π/2, som π/3 ligger før. Værdien af t bliver derfor: π/2 + (π/2 - π/3) = π/2 + π/6 = 2π/3.

c) De øvrige dobbeltpunkters x,y-koordinater er: (8.660,0), (-8.660,0), (0,-8.660). (Deres t-værdier er: ±π/6, π ± π/6 og 3π/2 ± π/6).

#5... (Deres t-værdier er: π/6, 11π/6, π ± π/6 og 3π/2 ± π/6).

ad. b

Ligningen y(t) = 0 har faktisk syv løsninger, da y(0) = y(2 π) = 0.

Men fordi et dobbeltpunkt defineres som et punkt, hvor grafen skærer sig selv udelades disse løsninger.