Matematik

Bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens skæringspunkter med andenaksen.

12. oktober 2024 af Mrfoks - Niveau: A-niveau

Hej jeg har fået denne opgave:

Logoet for TV-stationen Australian Broadcasting Corporation har form som parameterkurven for vektorfunktionen givet ved

r(t)= <cos(t), sin(3t)>
Bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens skæringspunkter med andenaksen.

Jeg har regnet cos(t)=0 ud for at finde t-værdien når parameterkurven skærer andenaksen, men den giver mig kun en værdi som er pi/2, og jeg kan se når jeg kigger på grafen at den har flere skæringspunkter med andenaksen. hvorfor giver den mig kun 1 værdi?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. oktober 2024 af jl9

cos er jo periodisk og har samme resultat to gange for hver periode. Nogle lommeregnere og CAS værktøjer vil skrive resultatet til cos(t)=0 som:

t = π/2 + πn

for alle hele tal n (positive og negative).

Oplyser opgaven hvad t går fra og til?

Brugbart svar (0)

Svar #2
12. oktober 2024 af ringstedLC

Hvis "den" er en relativ simpel lommeregner, så giver den kun én løsning på:

$\begin{align*} \cos(t) &= 0 \Rightarrow t=\cos^{-1}(0) \Rightarrow t=\tfrac{\pi}{2}\approx 90^\circ \end{}$

Trigonometriske funktioner er periodiske, så ligningen har uendeligt mange løsninger.

Begrænses t til en "omgang":

$\begin{align*} t &= \cos^{-1}(0) &&,\;0\leq t<2\,\pi \\ t &= \left\{\begin{matrix} \tfrac{\pi}{2} \\ \tfrac{3\pi}{2} \end{matrix} \right. \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. oktober 2024 af mathon

Bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens skæringspunkter med andenaksen.

$\begin{array}{llllllll} \left(0,-1 \right )\quad \textup{og}\quad \left(0,1 \right ) \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
12. oktober 2024 af mathon

$\begin{array}{llllll} \textbf{Detaljer:}\\&& \sin(3t)=3\cdot \sin(t)-4\cdot \sin^3(t)\\\\&t=\frac{\pi}{2}\textup{:}&\sin\left(\frac{3\pi}{2} \right )=3\cdot \sin\left(\frac{\pi}2 \right )-4\cdot \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right )^3=\\\\&&3\cdot (1)-4\cdot(1)^3=3-4\cdot (1)=3-4=-1\\\\\\\\ &t=\frac{3\pi}{2}\textup{:} &\sin\left(\frac{9\pi }{2}\right )=3\cdot \sin \left(\frac{3\pi}{2}\right)-4\cdot \left(\sin\left(\frac{3\pi}{2} \right ) \right )^3=\\\\&& 3\cdot (-1)-4\cdot(-1)^3=-3-4\cdot(-1)=-3+4=1 \end{}$

Svar #5
12. oktober 2024 af Mrfoks

Okay, jeg forstår nu at den har flere løsningen da den er periodisk. men hvorfor er 3pi/2 en løsning, men ikke 5pi/2. og t bergrænses til 0 < t <2pi. (kan ikke lave en streg under "<")

Brugbart svar (0)

Svar #6
12. oktober 2024 af mathon

$\begin{array}{lllll}\cos\left(\frac{5\pi}{2} \right )=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{4\pi}{2} \right )=\cos\left(\frac{\pi}{2}+2\pi \right )=\cos\left(\frac{\pi}{2} \right )=0\\\\\\ \sin\left(\frac{5\pi}{2} \right )=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{4\pi}{2} \right )=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi \right )=\sin\left(\frac{\pi}{2} \right )=1 \end{}$

Svar #7
12. oktober 2024 af Mrfoks

okay det forstår jeg. men hvordan kan 3pi/2 give et andet svar en pi/2, er ikke helt med endnu

Brugbart svar (0)

Svar #8
12. oktober 2024 af mathon

$\begin{array}{llllllll} \cos\left(\frac{\pi}{2} \right )=\cos\left(\frac{3\pi}{2} \right )=0\\\\\\\\ \sin\left(\frac{3\pi}{2} \right )=-\sin\left(\frac{\pi}{2} \right )=-1 \end{}$

Skriv et svar til: Bestem koordinatsættet til hvert af parameterkurvens skæringspunkter med andenaksen.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.