Matematik

Induktionsbevis, summation af komplekse tal

27. oktober 2024 af Amatøren - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg sidder med en opgave hvori jeg ved induktion skal vise at følgende er sandt:

Jeg har forsøgt at skrive venstresiden om ved hjælp af et summationssymbol, men jeg er endnu ikke nået frem til noget brugbart rettet mod det jeg skal vise.

Jeg er altså kørt lidt fast og ville værdsætte et hint til hvordan jeg kan gribe opgaven an eller hvad jeg kan tage udgangspunkt i til en start (selve grundideen bag induktionsbeviser er jeg bekendt med)

Mange tak på forhånd

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2024-10-27 201040.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. oktober 2024 af M2023

#0.

$Sum(n+1)=r^{n+1}\cdot s^{0}+r^{n}\cdot s^{1}+r^{n-1}\cdot s^{2}+...+r^{1}\cdot s^{n}+r^{0}\cdot s^{n+1}=$

$r \cdot \left( \color{red} r^{n}\cdot s^{0}+r^{n-1}\cdot s^{1}+r^{n-2}\cdot s^{2}+...+r^{1}\cdot s^{n}\color{black}+r^{-1}\cdot s^{n+1}\right)=$

$r \cdot \left(\color{red} \frac{r^{n+1}-s^{n+1}}{r-s}\color{black}+r^{-1}\cdot s^{n+1}\right)=$

$\frac{ r^{n+2}- s^{n+2}}{r-s}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
27. oktober 2024 af jl9

$r^{n+1} + r^{n} \cdot s + r^{n-1} \cdot s^{2} + ... + r \cdot s^{n}+s^{n+1} = r^{n+1}+s \cdot \left( r^{n}\cdot s+r^{n-1}\cdot s^{2}+...+r\cdot s^{n}+s^{n+1} \right ) = r^{n+1}+s \cdot \left( \frac{r^{n+1}-s^{n+1}}{r-s} \right) =$

Svar #3
28. oktober 2024 af Amatøren

Kæmpe hjælp! Virkelig mange tak for din hjælp

Brugbart svar (1)

Svar #4
28. oktober 2024 af TheMathPortal

Vedrørende induktionssbevis: Hvis du omskriver venstresiden vha. summationssymbol, kald det S(n), og lad højresiden betegne med T(n), så skal du vise

1) S(1) = T(1), og

2) hvis S(k) = T(k), så er S(k+1) = T(k+1).

Dermed er du færdig.

Brugbart svar (1)

Svar #5
28. oktober 2024 af M2023

#1. Rettelse:

$...r \cdot \left( \color{red} r^{n}\cdot s^{0}+r^{n-1}\cdot s^{1}+r^{n-2}\cdot s^{2}+...+\underline{r^{0}}\cdot s^{n}\color{black}+r^{-1}\cdot s^{n+1}\right)=...$

Brugbart svar (1)

Svar #6
28. oktober 2024 af jl9

Rettelse til #2:

$r^{n+1} + r^{n} \cdot s + r^{n-1} \cdot s^{2} + ... + r \cdot s^{n}+s^{n+1} = r^{n+1}+s \cdot \left( r^{n} + r^{n-1}\cdot s+...+r\cdot s^{n-1}+s^{n} \right ) = r^{n+1}+s \cdot \left( \frac{r^{n+1}-s^{n+1}}{r-s} \right) =$

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. oktober 2024 af M2023

#0. Med summationstegn:

$\sum_{i=0}^{n}r^{n-i}s^{i}=\frac{r^{n+1}-s^{n+1}}{r-s}$

For n + 1:

$\sum_{i=0}^{n+1}r^{n+1-i}s^{i}=r \cdot \sum_{i=0}^{n+1}r^{n-i}s^{i}=r \cdot \left( \sum_{i=0}^{n}r^{n-i}s^{i} +r^{n-(n+1)}\cdot s^{n+1} \right)=$

$r \cdot \left( \frac{r^{n+1}-s^{n+1}}{r-s} +r^{-1}\cdot s^{n+1} \right)= \frac{r^{n+2}-s^{n+2}}{r-s}$

Svar #8
29. oktober 2024 af Amatøren

Nu er det klart for mig :)

Jeg værdsætter jeres hjælp!

Brugbart svar (1)

Svar #9
29. oktober 2024 af M2023

#0. Angående udledningen af formlen. Fra #1 og #2 følger, at

$Sum(n+1) = r\cdot Sum(n) + s^{n+1} = s\cdot Sum(n) + r^{n+1}.$

Trækkes disse formler fra hinanden så får man:

$r\cdot Sum(n) + s^{n+1} - \left( s\cdot Sum(n) + r^{n+1} \right )=0 \Leftrightarrow$

$Sum(n) = \frac{r^{n+1}-s^{n+1}}{r-s}$

Skriv et svar til: Induktionsbevis, summation af komplekse tal

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.