bestemme a,b,c konstanter i en funktion

Givet informationen ved kan vi umiddelbart gennemskue 3 betingelser:

1. Funktionens afledte i x=0 må være lig 0, da denne der her er et vendepunkt.

2. Funktionens afledte i x=20 må også være lig 0, da denne der også ligger er et vendepunkt.

3. f(20)=0.

Funktionens afledte kan bestemmes som f'(x)= 3ax^2+2bx+c.

Vi kan her se, at c er et konstant led i f'(x). Hvis betingelsen med at f'(0)=0, må c da her også være 0.

Du kan ud fra dette opstille to ligninger med 2 ubekendte og løse systemet for at finde a og b.

Okay, så jeg er kommet frem til 2 ligninger med a og b som ubekendte:
0=3a*0^(2)+2b*0 og 20=3a*20^(2)+2b*20, hvor c=0 så den er ikke blevet medtaget. De metoder vi så har lært til finde 2 ubekendte, kræver dog så at man ikke ganger med 0? Så jeg kan ikke løse ligningerne. Hvad gør jeg i dette tilfælde?

Der er yderligere et 'trick' vi kan benytte: Man kan trække en ligning fra en anden i et system af ligninger. Dette kommer som del af den metode der kaldes 'eliminationsmetoden'.

Vi har fundet ud af følgende:

f(20) = a*20^3 + b*20^2 + c*0 + 10 = 8000a + 400 + 10 = 0

f(20) = 8000a + 400  = -10

Dette kan yderligere simplificeres til f(20) = 800a + 40b = -1

Derudover ved vi:

f'(20) = 3*a*20^2 + 2 * b * 20^2 = 1200a * 40b = 0

Hvis du trækker ligning 2 fra ligning 1 får du:

f(20) - f'(20) = (1200a + 40b) - (800a + 40b) = 0 - (-1)

= 400a = 1

a er dermed lig 1/400.

Denne fundne værdi for a kan du substituere ind i enten ligning 1 eller 2 og derefter isolere b.

Når det er gjort kan du prøve at tegne grafen i et program som GeoGebra og se om det ser rigtigt ud :)

Ok, mange tak for hjælpen. Jeg havde ikke tænkt på at man også kunne bruge den funktionsforskrift jeg fik til at starte med. Det giver meget bedre mening.

Selvfølgelig :) lille rettelse: jeg kom til at skrive f(20) = 8000a + 400 = -10. Der skulle have stået 8000a + 400b = -10 :)

Hov og så byttede jeg vidst også rundt på hvad jeg kaldte ligning 1 og ligning 2 haha

Den her opgave virker umiddelbart som én af de slags eksamensopgaver de gemmer til sidst som den sværeste opgave i sættet. De plejer altid at skjule en del nødvændigt information inde i opgaven som man skal bruge sin intuition for at finde ud af. Tilgængeld har man intet at bekymre sig om til eksamen hvis man bliver god til at gennemskue sådan noget :)

#2

Okay, så jeg er kommet frem til 2 ligninger med a og b som ubekendte:
0=3a*0^(2)+2b*0 og 20=3a*20^(2)+2b*20, hvor c=0 så den er ikke blevet medtaget. De metoder vi så har lært til finde 2 ubekendte, kræver dog så at man ikke ganger med 0? Så jeg kan ikke løse ligningerne. Hvad gør jeg i dette tilfælde?

Den første af de to ligninger, f '(0) = 0, har du allerede brugt til at bestemme c = 0, så den kan du ikke bruge igen.
Det  er ligningerne fra punket B, f(20) = 0  (du har skrevet 20 i stedet for 0) og f '(20) = 0, du skal bruge  til at bestemme a og b.
Hvis opgaven er med hjælpemidler, kan du løse de to ligninger med dit CAS-værktøj.

Hvis opgaven er med hjælpemidler: