Matematik

Andenordens lineær homogen differentialligning

16. februar 2025 af Anonnymemig123 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej! jeg forstår ikke præcist hvordan man løser følgende.

Jeg skal løse denne differentialligning:

y'' = - y

omskrives til at stå på standardformlen:

y'' + y = 0

Vi opskriver den karateristiske ligning:

r² + 1 = 0 ⇒ r² = - 1 ⇒. r = ± i

den generelle løsning er derfor:

y(x) = C₁cos(x) + C₂ sin(x)

Jeg forstår ikke hvorfor den generelle løsning er det her?

Altså er det bare sådan det er eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. februar 2025 af Anders521

#0 Din ligning har komplekse rødder, hvilket leder til løsningen y. Du kan tjekke om den er løsningen ved at gøre prøve.

Generelt set gælder der, at med differentialligningen y'' = -k²·y, vil den generelle løsning være

y(x) = C₁ ·cos(k·x) + C₂ ·sin(k·x)

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. februar 2025 af mathon

se evt.
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2096293

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. februar 2025 af mathon

Det er sådan, at det er

men i detaljer:

Når karakterligningen har to forskellige, distinkte og partikulære løsninger,
kan det vises, at den fuldstændige løsning
er en lineær kombination af de to partikulære løsninger.

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. februar 2025 af mathon

I dit tilfælde
$r=\left\{\begin{matrix}i\\-i \end{}\right.$

Karakterligningen er fremkommet som et gæt på løsningen $y=e^{r\cdot y}$
og dermed
$\dot{y}=r\cdot e^{r\cdot y}$
$\ddot{y}=r^2\cdot e^{r\cdot y}$

De to partikulære løsninger
er
$\begin{array}{llllll} y(x)=\left\{\begin{matrix}e^{i\cdot x}\\e^{-i\cdot x} \end{}\right. \end{}$

Den fuldstændige løsning er en lineær kombination af disse to.

Den fuldstændinge løsning:

$\begin{array}{llllll} y(x)=A\cdot e^{i\cdot x}+B\cdot e^{-i\cdot x} \end{}$

hvor $A$ og $B$ er komplekse, arbitrære konstanter.

Sættes
$A=\tfrac{a-i\cdot b}{2}\;\textup{og }B=\tfrac{a+i\cdot b}{2}$

haves ved brug af identiteten
$e^{i\cdot \theta}=\cos(\theta)+i\cdot \sin(\theta)$

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllll} \frac{c_1-i\cdot c_2}{2}\cdot [\cos(x)+i\cdot \sin(x)]+\frac{c_1+i\cdot c_2}{2}\cdot [\cos(x)-i\cdot \sin(x)]=\\\\\\ \left[\frac{c_1-i\cdot c_2+c_1+i\cdot c_2}{2} \right ]\cdot \cos(x)+\left[ \frac{c_1-i\cdot c_2-c_1-i\cdot c_2}{2}\right ]\cdot i\cdot \sin(x)\quad \textup{da}\begin{matrix}\cos(-x)=\cos(x)\\ \;\;\;\sin(-x)=-\sin(x)\end{} \\\\\\ \frac{2c_1}{2}\cdot\cos(x)+\frac{-2i\cdot c_2}{2}\cdot i\cdot \sin(x)=\\\\\\ c_1\cdot \cos(x)-i^2\cdot c_2\cdot \sin(x)=\\\\\\ c_1\cdot \cos(x)+c_2\cdot\sin(x)\qquad c_1,c_2\in \mathbb{R}\qquad i^2=-1 \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. februar 2025 af mathon

korrektion af tastefejl:

Karakterligningen er fremkommet som et gæt på løsningen $y=e^{r\cdot x}$
og dermed
$\dot{y}=r\cdot e^{r\cdot x}$
$\ddot{y}=r^2\cdot e^{r\cdot x}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. februar 2025 af mathon

Endvidere:
$\begin{array}{llllll}&& c_1\cdot \cos(x)+c_2\cdot \sin(x)=\\\\&& c_1\cdot\left[\cos(x)+\frac{c_2}{c_1}\cdot \sin(x) \right ]\quad \textup{som med }\tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=\frac{c_2}{c_1}\\\\& \textup{giver}&c_1\cdot\left[\cos(x)+\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\cdot \sin(x) \right ]=\\\\&& \frac{c_1}{\cos(\beta)}\cdot[\cos(x)\cdot \cos(\beta)+\sin(x)\cdot \sin(\beta)]=\\\\&& \frac{c_1}{\cos(\beta)}\cdot\cos(x-\beta)\\\\ \textup{og}\\&& \frac{c_1}{\cos(\beta)}=\sqrt{\left(\frac{c_1}{\cos(\beta)} \right )^2}=\sqrt{\frac{{c_1}^2}{\cos^2(\beta)}}=\sqrt{{c_1}^2\cdot \frac{1}{\cos^2(\beta)}}=\sqrt{{c_1}^2\cdot (1+\tan^2(\beta))}=\\\\&&\sqrt{{c_1}^2\cdot \left(1+\frac{{c_2}^2}{{c_1}^2} \right )}=\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}\\ \textup{dvs}\\&& \sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}\cdot \cos(x-\beta)\\ \textup{eller}\\&&A\cdot \cos(x-\beta)\quad \textup{som med }\cos(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\\ \textup{giver}\\&&A\cdot\sin\left(x-\beta+\frac{\pi}{2}\right )=\\\\&& {\color{Red}{\mathbf{A\cdot\sin\left(x+\varphi_o\right )}}}\qquad \varphi_o=-\varphi+\frac {\pi}{2} \end{}$ som du kender.

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. februar 2025 af mathon

rettelse:
$\begin{array}{llllll}&& \\ \textup{giver}\\&&A\cdot\sin\left(x-\beta+\frac{\pi}{2}\right )=\\\\&& {\color{Red}{\mathbf{A\cdot\sin\left(x+\varphi_o\right )}}}\qquad \varphi_o=-\beta+\frac {\pi}{2} \end{}$
som du kender.

Brugbart svar (0)

Svar #9
19. februar 2025 af mathon

Bemærk
$\cos(t-s)=\cos(t)\cdot \cos(s)+\sin(t)\cdot \sin(s)$

Skriv et svar til: Andenordens lineær homogen differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.