e lnx =x

Hvorfor tror du, at eln(x) = x? Altså hvilke beviser har du?
Hvad mener du med regler "indunder"?

Man kan vise at funktionen exp: R → R_>0 , x ι→ e^x har en omvendt funktion. Den omvendte funktion exp^º-1 er defineret som "den funktion der løber den modsatte vej", altså 

y = e^x ⇔ log_e(y) = log_e(e^x) = x = exp^º-1(y) ⇔ exp^º-1(x) = log_e(x).

I stedet for log_e(x) definerer man log_e(x) := ln(x)  (dette er en definition, som derfor ikke kan bevises).

Altså: 

exp: R → R_>0 , x ι→ e^x.

exp^º-1: R_>0 → R , x ι→ ln(x).

________________________________________________

Notationen R → R_>0 kan tænkes på som en funktion hvis definitionsmængde er de reelle tal og hvis funktionsværdier er indeholdt i de positive reelle tal. 

# 0
Vi kan gøre prøve.
e^{ln x} = x
e^{ln x}  er en (sammensat) eksponentialfunktion, og om den her ved vi, er monoton.
Både e^x  og ln x  er monoton.
Vi bruger logaritmeregnereglen for logaritmen til en potens,
da regnereglen for eksponentialfunktionen er den samme.
Vi kan derfor slutte, "ta'r" logaritmen på begge sider:
e^{ln x} = x    ⇔    ln (e^{ln x}) = ln x    ⇔   ln x · ln e = ln x   ⇔   ln x · 1 = ln x      for alle x > 0.
Her slutter så kæden af dobbeltimplikationer.

exp(x) = e^x er defineret som den omvendte funktion til ln(x), der igen er defineret som integralet af 1/u fra 1 til x:

Man kan vise, at denne funktion opfylder funktionalligningen ln(ab) = ln(a)+ln(b) for logaritmer, hvilket er kriteriet for at funktionen er en logaritmefunktion.

Funktionen er defineret for positive reelle tal.

Det er muligt at udvide til de komplekse tal ved at definere exp(z) ud fra rækkeudviklingen af exp(x):

Man definerer så ln som den inverse til exp.

#0
Det er ikke helt løgn. Hvis du i Geogebra skriver:   e^ln(x)   så får du linjen  y=x;
men kun i første kvadrant.