Matematik

Summationsnotation, Matematisk analyse, Opgave 1.8.8, Side 37, (Knut Sydsæter)

28. maj 2025 af ca10 - Niveau: Universitet/Videregående

Beregn følgende dobbeltsummer

(i)

3 4

∑ ∑ i • 3^j

i = 1 j = 1

------------------------------------------------------------

Mit forsøg:

(i)

3 4

∑ ∑ i • 3j = (1 + 2 + 3 ) + ( 1• 3¹ + 2 • 3² + 3 • 3³ + 4 •3⁴ ) = 6 +3 + 18 + 81 + 324 =432

i = 1 j = 1

I facitlisten er facit 720.

Mit spørgsmål hvad gør jeg forkert?

(ii)

2 4

∑ ∑

s = 0 r = 2 ( rs / (r+s)²

----------------------------------------------------------------

Mit forsøg:

(ii)

2 4

∑ ∑ ( rs / (r+s)² = 0 + 1 + 2 + ( 2 • 0) / (2 + 0)² + ( 2 • 1) /( 3 + 1)² + ( 4 + s) = ?

s = 0 r = 2

I facitlisten er facit, 5 • 3113 / 3600

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert.

(iii)

∑ ∑ i • k^j ( k ≠ 1)

i = 1 j = 1

------------------------------------------------

Mit forsøg: Jeg har ingen anelse, om hvordan man beregner dobbelsummen i (iii)

Min løsning i (i) og (ii) er forkerte og jeg har ingen anelse, om hvordan man beregner dobbelsummen i (iii).

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man dobbeltsummerne i (i), (ii) og (iii).

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 1.8.8 (i), (ii), og (iii) og Facit.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. maj 2025 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. maj 2025 af peter lind

s= 1*3¹ + 2 *3¹ +3*3¹ + 1*3² + 2*3² + 3*3² + 1*3³ + ...

Hvis du laver det i et regneark går det nemmere

Brugbart svar (1)

Svar #3
28. maj 2025 af M2023

#0. a)

$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{4}i\cdot 3^j =\sum_{i=1}^{3} i \sum_{j=1}^{4} 3^j =\sum_{i=1}^{3} i \left(3+3^2+3^3+3^4 \right) =\sum_{i=1}^{3} i \left(3+9+27+81 \right) =$

$\sum_{i=1}^{3} i \cdot120 =120\sum_{i=1}^{3} i =120\cdot \frac{3\cdot4}{2}=720$

Svar #4
29. maj 2025 af ca10

Tak for svaret

Til Svar #3 M2023

Jeg forstår noget af din løsning:

3 4 3 4 3 3

∑ ∑ i • 3^j = ∑ i ∑ 3^j = ∑ i ( 3 + 3² + 3³ + 3⁴ ) = ∑ i ( 3+ 9 + 27 +81 ) =

i = 1 j = 1 i = 1 j = 1 i = 1 i =1

3 3

∑ i • 120 = 120 ∑ i = 120 • 3 • 4 /2

i = 1 i = 1

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man:

3 3 • 4

∑ i = ---------

i =1 2

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #5
29. maj 2025 af jl9

$\sum _{i=1} ^{3} i =1+2+3=6$

Der er en generel regneregel som siger at:

$\sum _{i=1} ^{n} i =\frac{ \left( n+1 \right) \cdot n }{2}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. maj 2025 af jl9

Mit spørgsmål er, hvordan bestemmer man:

3 3 • 4

∑ i = ---------

i =1 2

Se evt. side 3 i https://steen-toft.dk/mat/20032004/projekt/indukt.pdf

Svar #7
29. maj 2025 af ca10

Til Svar #5 og 6, jI9

Tak for svaret

Brugbart svar (1)

Svar #8
29. maj 2025 af M2023

#3. a) Med tal:

$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{4}i\cdot 3^j =1\cdot \left(3^1+3^2+3^3+3^4 \right )+2\cdot \left(3^1+3^2+3^3+3^4 \right )+$

$3\cdot \left(3^1+3^2+3^3+3^4 \right )=\left(1+2+3 \right ) \cdot\left(3^1+3^2+3^3+3^4 \right )=6\cdot 120=720$

Med formler:

$\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{4}i\cdot 3^j =\left(\sum_{i=1}^{3} i \right ) \cdot \left(\sum_{j=1}^{4} 3^j \right ) = \frac{3\cdot 4}{2}\cdot \frac{3-3^{4+1}}{1-3}=720$

Den første er trekantstallene, og den anden er den endelige geometriske række.

Svar #9
30. maj 2025 af ca10

Til Svar #8 M2023

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. maj 2025 af M2023

#8. (ii)

$\sum_{s=0}^{2}\sum_{r=2}^{4} \left(\frac{rs}{r+s} \right )^2 =$

$\left(\tfrac{2\cdot 0}{2+0} \right )^2+\left(\tfrac{3\cdot 0}{3+0} \right )^2+\left(\tfrac{4\cdot 0}{4+0} \right )^2+\left(\tfrac{2\cdot 1}{2+1} \right )^2+\left(\tfrac{3\cdot 1}{3+1} \right )^2+\left(\tfrac{4\cdot 1}{4+1} \right )^2+\left(\tfrac{2\cdot 2}{2+2} \right )^2+\left(\tfrac{3\cdot 2}{3+2} \right )^2+\left(\tfrac{4\cdot 2}{4+2} \right )^2=$

$\left(\frac{0}{2} \right )^2+\left(\frac{0}{3} \right )^2+\left(\frac{0}{4} \right )^2+\left(\frac{2}{3} \right )^2+\left(\frac{3}{4} \right )^2+\left(\frac{4}{5} \right )^2+\left(\frac{4}{4} \right )^2+\left(\frac{6}{5} \right )^2+\left(\frac{8}{6} \right )^2=$

$\frac{4}{9}+\frac{9}{16}+\frac{16}{25}+1+\frac{36}{25}+\frac{64}{36}=$

$\frac{1600+2025+2304+3600+5184+6400}{3600}=\frac{21113}{3600}$

Jeg får det samme i WolframAlpha(!) Facit svarer til 15565/3600(?)

Brugbart svar (0)

Svar #11
31. maj 2025 af M2023

$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}i\cdot k^j =\left(\sum_{i=1}^{m} i \right ) \cdot \left(\sum_{j=1}^{n} k^j \right ) = \frac{m\cdot (m+1)}{2}\cdot \frac{k-k^{n+1}}{1-k}$

Som før: Den første faktor er trekantstallene, og den anden er den endelige geometriske række.

Brugbart svar (1)

Svar #12
31. maj 2025 af SuneChr

# 0
Summation over to variable svarer til at integrere over to variable:
Først summeres udtrykket efter inderste sigma m.h.t. dettes variabel
og holder yderste sigmas variabel konstant.
Dernæst summeres den fremkomne sum over yderste variabel.
Man arbejder fra højre mod venstre.
Summation kan foretages over flere variable efter samme model.

# 10
"Facit svarer til 15565/3600(?)" ?

Svar #13
31. maj 2025 af ca10

Til Svar #12 SuneChr

Tak for svaret.

Har du muliglighed for trin for trin at vise, hvordan du vil løse opgave (ii) så jeg kan følge beregningen trin for trin som fører frem til facit:

3113

5-------------

3600

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #14
31. maj 2025 af SuneChr

Det står i # 10, men lad os da få mellemregning på:
Først tager vi inderste sigma og lader s være konstant:
_r=2Σ⁴(rs/(r + s))²= (2s/(2 + s))² + (3s/(3 + s))² + (4s(4 + s))²
De tre led skal nu summeres over det yderste sigma:
_s=0Σ²[ (2s/(2 + s))² + (3s/(3 + s))² + (4s(4 + s))²] hvor s indsættes, hvor vi sluttelig får 3 × 3 led i alt,
3 led fra hver af sigma'erne.

Svar #15
31. maj 2025 af ca10

Til Svar #14 SuneChr

Tak for svaret.

Kan du ikke trin for trin vise ved at gennemfører alle mellem-beregningerne kommer frem til din løsning.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #16
31. maj 2025 af SuneChr

Der skulle vel ingen vanskeligheder være ved i første summation at indsætte r = 2, 3 og 4
og i anden summation indsættes s = 0, 1 og 2.
Beregningerne kan jo læses i # 10 og behøver vel ingen ekstra opmærksomhed?
Jeg er enig i resultatet ²¹¹¹³/₃₆₀₀ = 5³¹¹³/₃₆₀₀

Brugbart svar (0)

Svar #17
31. maj 2025 af SuneChr

Her er et lille pædagogisk trick, der kan hjælpe, når der er to summationstegn, og antallene af led
er af overskuelig størrelse.
Lav et skema:
r

        ____ |__2__|__3__|__4__|
       __0__|_____|_____|_____|
s    __1__|_____|_____|_____|
       __2__|_____|_____|_____|

Udfyld de ni felter v.h.a. formlen   (rs/(r + s))²   og læg tallene sammen.

Svar #18
01. juni 2025 af ca10

Til Svar #17 SuneChr

Tak for svaret

Til Svar #10 M2023

30. maj kl. 15:45 af M2023
#8. (ii)

Her skriver jeg din løsning i forkortet udgave

2 4 rs 21113

∑ ∑ (----------- )² = --------------

s= 0 r = 2 r + s 3600

Her tager jeg brøkken:

21113

----------- = 5,86472

3600

Det vil sige at 3600 går op i 21113 5 gange og der er en decimal.

Det vil så sige at 5 • 3600 = 18000

( 21113 - 18000) 3113

Således at : 5 • ------------------------- = 5 • --------------

3600 3600

Mit spørgsmål er, om det en rigtig omformning af brøkken.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #19
01. juni 2025 af M2023

#18. Det må du undskylde. Jeg læste

$5\frac{3113}{3600}\;som\;5\cdot \frac{3113}{3600}\;og\;ikke \;5+ \frac{3113}{3600}$

Svar #20
01. juni 2025 af ca10

Til Svar #19 M2023

Tallet: 21113 / 3600 opfatter jeg som en uægte brøk som jeg ville omskrive til et blandet tal

3113

så kan 21113 / 3600 skrives som 5 ----------

3600

3113 5 • 3600 +3113 21113

eller skal 21113 / 3600 skrives som 5 + ------------- = ------------------------ = ---------------

3600 3600 3600

De er åbenbart en elementær regnefærdighed som jeg har misforstået.

3113

Løsningen i facitlisten er: 5------------

3600

På forhånd tak

Skriv et svar til: Summationsnotation, Matematisk analyse, Opgave 1.8.8, Side 37, (Knut Sydsæter)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.