Matematik

Trigonometriske funktioner, Matematik HF TILVALG, Opgave 413, Side 216 (Ib Axelsen, Lis Bøttcher og Hans Jørgen Schrøder)

13. august 2025 af ca10 - Niveau: B-niveau

Opgave 413

Løs hver af liningerne.

1. sin( x )= 0.6745, x ∈ [ 0; 2π ]

Mit forsøg:

sin( x )= 0.6745 ⇒ sin^-1 ( 0.6745) = 0.7403.

På en enhedscirkel ligger punkt x = 0.7403 symmetrisk om andenaksen da intervallet er x ∈ [ 0; 2π ] så er løsningen at xer derfor retningspunkt for tallet x = 0.7403 + p • 2π. Og x er derfor retningspunkt for tallet x = π - 0.7403 + p • 2π . Så samtlige løsninger til ligningen er: (enhedscirklen med punktet x = 0.7403 og punktet x = π - 0.7403 er ikke indtegnet på enhedscirklen.

x = { 0.7403 + p • 2π , π - 0.7403 + p • 2π

I facitlisten opgives løsningen x = 0.7403 v x = π - 0.7403

2. sin( x ) = -0.1784

(Se evt det vedhæftede dokument med opgaveteksten, facit. Jeg har forsøgt at indtegne punkterne i enhedscirklen vedrørende 2. sin^-1 (x) = -0.1794 . Det er ikke sikkert at ming tegning er særlig tydelig)

Mit forsøg:

sin( x ) = -0.1784 ⇒ sin^-1(-0.1784) = -0.1794. x ∈ [ -π ; π ]

På en enhedscirkel ligger punkt x = -0.1794 symmetrisk om andenaksen.

Så på enhedscirklen går man med uret så punktet x₁ = -0.1794 ( Det ligger i 4-kvadrant), x₂ = 0.7403 - π ( det ligger i 3-kvadrant).

Mit spørgsmål er, intervallet er x ∈ [ -π ; π ] for det først undre det mig at tallet π er med i intervallet da ikke tallet sin(x) = -0.1784 ligger symmetrisk i andenaksen. I 3-kvadrant har jeg så tallet -π. For det andet umiddelbart så burde løsningen være x₂ = -π - 0.1794, men i facitlisten er den anden løsning x = 0.1794 - π.

Den første løsning x= 0.1794 forstår jeg, men jeg forstå ikke den anden løsning x = 0.1794 - π.

På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Opgave 413 og Facit. Enhedscirklen.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. august 2025 af ringstedLC

1. Reducer din løsningsmængde med hensyn til betingelsen x ∈ [0 ; 2 π] og få de to løsninger som facit giver.

PS. Når/hvis du bruger en variabel som fx p skal dens definitionsmængde angives. Da sinus er periodisk vil alle "0.7403 + et helt antal gange 2 π" opfylde ligningen. p kan derfor ikke fx være 1.5, men skal være et heltal. Se eventuelt https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2098932#2098960

Brugbart svar (1)

Svar #2
13. august 2025 af mathon

$\begin{array}{llllll}\textbf{1.}\\ &&\sin(x)=\sin(\pi-x)=0.6745\qquad \in [0\,;2\pi]\\\\&& x=\sin^{-1}(0.6745)=0.7403\\\\&& \pi-x=\sin^{-1}(0.6745)=0.7403\\\\&& x=\pi-0.7403=2.4013\\\\ \textup{samlet:}\\&&x=\left\{\begin{matrix}0.7403\\2.4013 \end{}\right. \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. august 2025 af ringstedLC

#0
2. sin( x ) = -0.1784

Mit forsøg:

sin( x ) = -0.1784 ⇒ sin^-1(-0.1784) = -0.1794. x ∈ [ -π ; π ]

Medfører-pilen (implikationen) bør sige noget om x.

#0
På en enhedscirkel ligger punkt x = -0.1794 symmetrisk om andenaksen.

Et punkt består af to koordinater.

#0
Så på enhedscirklen går man med uret så punktet x₁ = -0.1794 ( Det ligger i 4-kvadrant), x₂ = 0.7403 - π ( det ligger i 3-kvadrant).

Punkterne (≈ løsningerne) er indtegnet korrekt på skitsen.

#0
Mit spørgsmål er, intervallet er x ∈ [ -π ; π ] for det først undre det mig at tallet π er med i intervallet da ikke tallet sin(x) = -0.1784 ligger symmetrisk i andenaksen.

Du skal ikke "undre" dig over en lignings betingelse(r), men bruge den/dem til afgrænse din løsningsmængde.

#0
I 3-kvadrant har jeg så tallet -π. For det andet umiddelbart så burde løsningen være x₂ = -π - 0.1794, men i facitlisten er den anden løsning x = 0.1794 - π.

Den første løsning x= 0.1794 forstår jeg, men jeg forstå ikke den anden løsning x = 0.1794 - π.

På forhånd tak.

"- π" er en halv omgang med uret og har den samme x-værdi (- 1) som "π", altså en halv omgang mod uret.

Omkring løsningerne:

$\begin{align*} \textup{1.\,l\o sning}:\\ -\pi &\leq x_1\leq \pi \\-\pi &\leq -0.1794\leq \pi \\ \textup{2.\,l\o sning}:\\-\pi &\leq x_2\leq \pi \\ -\pi &\leq 0.1794-\pi\leq \pi \\\textup{hvorimod}:\\ -\pi &\;{\color{Red}\nleq} -\pi-0.1794 \\\textup{eller\,fx}:\\ -\pi &\leq -(-\pi-0.1794)\;{\color{Red}\nleq}\; \pi \\ -\pi &\leq \pi+0.1794\;{\color{Red}\nleq}\; \pi \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. august 2025 af mathon

$\begin{array}{llllll}\textbf{2.}\\&& \sin( x ) =\sin(\pi-x) -0.1784\qquad x\in[-\pi;\pi]\\\\&& x=\sin^{-1}(-0.1784)=-0.1794\\\\&& \pi-x=-0.1794\\\\&& x=\pi+0.1794+p\cdot 2\cdot \pi=3.3210+p\cdot 2\pi\qquad p\in\mathbb{Z}\\ \textup{som for }p=-1\\ \textup{giver:}\\&&x=3.3210-2\pi=-2.9622\\ \textup{samlet:}\\&&x=\left\{\begin{matrix}-2.9622\\-0.1794 \end{}\right. \end{}$

Svar #5
13. august 2025 af ca10

Til Svar #1 ringstedL C og Svar #2 mathon og svar #3 ringstedLC

Jeg ser nærmere på det.

Jeg ved godt, at man ikke længere bruger "Matematik HF TILVALG, Opgave 413, Side 216 (Ib Axelsen, Lis Bøttcher og Hans Jørgen Schrøder) ", i matematik undervisningen, men jeg har for en del år har siden gået på et VUC - kursus, hvor man brugte den bog. Og i dag sidder jeg og kigger på, de opgaver som man blev stillet dengang. Men jeg har desværre ikke fået gemt mine løsning af disse opgaver fra dengang.

Men jeg har for mange år siden købte bøgerne Matematik HF TILVALG,(Ib Axelsen, Lis Bøttcher og Hans Jørgen Schrøder). Så derfor synes jeg i dag, at det er spændende i dag, at prøve at løse se opgaver vedrørenede trignometriske funktioner ved brug af enhedscirklen.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. august 2025 af SuneChr

# 5 sidste to linjer.
Fortvivl ikke. Rejsen på 360º ad enhedscirklen er ikke så vanskelig, når grundreglerne er på plads.
- Rejsen begynder altid ved og med udgangspunkt (1 , 0) og foretages modsat urviserne.
- Et vilkårligt punkt på periferien har koordinaterne (cos Θ , sin Θ) , hvor θ er vinklen fra (1 , 0) til punktet.
- En linje parallel med y-aksen vil skære periferien to steder,
og skæringen med x-aksen vil være samme cos til de to vinkler.
- En linje parallel med x-aksen vil skære periferien to steder,
og skæringen med y-aksen vil være samme sin til de to vinkler.
- Det bedste overblik fås ved anvendelse af grader og kan altid konverteres til rad.
- Alle vinkler er positive og starter i (1, 0), løber rundt modsat uret for igen at slutte i (1 , 0) .

Brugbart svar (1)

Svar #7
14. august 2025 af M2023

#0. Løsning i Geogebra.

Vedhæftet fil:Trigonometri.png

Svar #8
14. august 2025 af ca10

Til svar #6 SuneChr og Svar#7 M2023

Tak for svarene

Brugbart svar (1)

Svar #9
16. august 2025 af mathon

Rettelse:

$\begin{array}{llllll}\textbf{2.}\\&& \sin( x ) =\sin(\pi-x){\color{Red}{=}} -0.1784\qquad x\in[-\pi;\pi]\\\\&& x=\sin^{-1}(-0.1784)=-0.1794\\\\&& \pi-x=-0.1794\\\\&& x=\pi+0.1794+p\cdot 2\cdot \pi=3.3210+p\cdot 2\pi\qquad p\in\mathbb{Z}\\ \textup{som for }p=-1\\ \textup{giver:}\\&&x=3.3210-2\pi=-2.9622\\ \textup{samlet:}\\&&x=\left\{\begin{matrix}-2.9622\\-0.1794 \end{}\right. \end{}$

Svar #10
16. august 2025 af ca10

Til Svar #9 mathon

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #11
18. august 2025 af M2023

#0. Opganve 2 i Geogebra.

Vedhæftet fil:Trigonometri_b.png

Svar #12
18. august 2025 af ca10

Til Svar #11 M2023

Tak for svaret

Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner, Matematik HF TILVALG, Opgave 413, Side 216 (Ib Axelsen, Lis Bøttcher og Hans Jørgen Schrøder)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.