Matematik

Trigonometriske funktioner, HF TILVALG, Opgave 401, Side 217, (Ib Axelsen, Lis Bøttcher og Hans Jørgen Schrøder)

16. juli 2025 af ca10 - Niveau: B-niveau

Opgave 401.

Tegn grafen for funktionen

f ( x ) = 2 • sin ( 2x ) + 1, x ∈ [ 0; π ]

Jeg har indtegnet grafen på et kvadreret ark med blyant. Men det er svært at tegne grafen helt præcist, så jeg har ögså anvendt TI-89 Titanium (radian) til også at tegne grafen for funktionen f ( x ) = 2 • sin ( 2x ) + 1, x ∈ [ 0; π ], Både på min tegning og i TI-89 Titaniums funktion GRAPH kan jeg se at grafen er periodisk.

Man skal grafisk løse f ( x ) = 0. Det er svært på min tegning se præcist hvor f ( x) = 0. I TI-89 Titanium på grafen kan man se følgende xc: 1.8973 og yc: 0. og xc: 2.8481 yc: 0 eller xc:2.91139 yc: 0.

Facitlistens løsning er x = 1.8 ∨ x = 1.9

Jeg har prøvet at løse f ( x ) = 0 på følgende måde:

f ( x ) = 2 • sin ( 2x ) + 1 = 0

⇔

2 • sin ( 2x ) + 1 = 0

⇔

2 • sin ( 2x ) = -1

⇔

sin • (2x) = -1/2

⇔

sin^-1 (2x) = sin^-1 (-1/2)

⇔

2x = sin^-1 (-1/2)

⇔

x = (sin^-1 (-1/2)) /2

⇔

x = -0,239713.

Jeg kan se at denne løsning er forkert.

Mit spørgsmål er, udover grafisk at løse at f ( x ) = 0, hvordan kan man så løse f ( x ) = 0.

På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Opgave 401 og facit.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. juli 2025 af SuneChr

2·sin (2x) + 1 = 0            ∧       0 ≤ x ≤ π     ⇔
sin (2x) = - ¹/₂∧       0 ≤ x ≤ π     ⇔
2x = 210º ∨   2x = 330º ∧      0 ≤ x ≤ π     ⇔
x = 105º ∨ x = 165º       ∧      0 ≤ x ≤ π     ⇔
x = 105º ∨ x = 165º

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. juli 2025 af StoreNord

f(x) =2sin(2x) +1 har nulpunkt, hvor det første led er -1 (dvs sin(2x)=-½).

Svar #3
16. juli 2025 af ca10

Til Svar #1 SuneChr

Jeg er ikke helt sikker på at jeg forstår svaret.

2·sin (2x) + 1 = 0 ∧ 0 ≤ x ≤ π ⇔
sin (2x) = - 1/2 ∧ 0 ≤ x ≤ π ⇔
2x = 210º ∨ 2x = 330º ∧ 0 ≤ x ≤ π ⇔
x = 105º ∨ x = 165º ∧ 0 ≤ x ≤ π ⇔
x = 105º ∨ x = 165º

Svar #2 StoreNord.

Jeg er ikke sikker på at jeg helt forstår hvad der menes med f(x) =2sin(2x) +1 har nulpunkt, hvor det første led er -1 (dvs sin(2x)=-½).

Tak for svarene.

Mit spørgsmål er, er det muligt få en nærmere forklaring på hvordan man skal forstå

Jeg anvender facitlistens løsning x = 1,8 v x = 2,9 og indsætter

f(x) = 2•sin(2x) + 1

f (1,8) =2•sin(2•1,8) + 1 = -0,885041

f (2,9) = 2•sin(2•2,9) + 1 = -0,929204

Det passer da ikke med f (x) = 0. Men x= 1,8 og x= 2,9 .Når jeg derimod anvender TI-89 Titanium påf(x) = 2•sin(2x) + 1 og ser på grafen får man følgende xc: 1.8973 og yc: 0. og xc: 2.8481 yc: 0 eller xc:2.91139 yc: 0.

Så løsningen i facitlisten må være rigtig.

Mit spørgsmål er, er det muligt at få en nærmere forklaring på hvordan man skal forstå Svar #1 SuneChr svar og Svar #2 StoreNord.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #4
16. juli 2025 af SuneChr

Løsningerne i # 3 er angivet i grader.
For at få dine to resultater skal du gange graderne med ^π/₁₈₀,
som er omsætningsfaktoren fra grader til radianer.
Det er så det, du har og er det rigtige.
105º = ^7π/₁₂ 165º = ^11π/₁₂

Svar #5
16. juli 2025 af ca10

Til Svar #4 SuneChr

Jeg prøver at indtegne grafen for f ( x ) = 2 • sin ( 2x ) + 1, x ∈ [ 0; π ] i en enhedcirkel og så se på

x ∈ [ 0; π ]. Jeg anvendte som sagt TI-89 Titanium (radian) til at fastlægge hvilke værdier af x funktionen har for at bestemme hvilke funktionsfunktionsværdier for at f( x ) = 2 • sin ( 2x ) + 1 = 0.

Tak for svaret jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
16. juli 2025 af SuneChr

. SP 160720252027.JPG

Vedhæftet fil:SP 160720252027.JPG

Brugbart svar (1)

Svar #7
17. juli 2025 af SuneChr

Bemærkning.
Når man har med så pæne tal at gøre, ville jeg aflevere resultatet, ikke som decimaltal, men som
uforkortelig brøk gange π . Decimaltallet er praktisk, når vi ser det i koordinatsystemet, hvorimod en
brøk gange π ikke her nødvendigvis falder i øjnene.

Svar #8
17. juli 2025 af ca10

Til svar #6 - #7 SuneChr

Tak for svaret. Jeg ser nærmere på det.

På forhånd atk

Brugbart svar (1)

Svar #9
17. juli 2025 af ringstedLC

#5
Jeg prøver at indtegne grafen for f ( x ) = 2 • sin ( 2x ) + 1, x ∈ [ 0; π ] i en enhedcirkel og så se på x ∈ [ 0; π ]

Det hjælper nok ikke så meget på overblikket, da grafen er en sinuskurve.

Husk i stedet, at punkterne (x, sin(x)) netop er periferien på enhedscirklen og genlæs https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2044484

Repetér eventuelt trigonometri på https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/trigonometri

og se de relevante formler (116-128) i FS.

Brugbart svar (1)

Svar #10
17. juli 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll} &\sin(2x)=-\frac{1}{2}\qquad x\in [0;\pi]\\\\ \textup{F\o rst bruges:}\\&\sin(\pi+2x)=-\sin(2x)=\frac{1}{2}\\\\&\pi+2x=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}+p \cdot 2\pi\qquad p\in \mathbb{Z}\\\\ \textup{som for }p=1\\ \textup{giver:}\\& 2x=\frac{\pi}{6}-\frac{6\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\\\\& x=\frac{7\pi}{12}\\\\\\\\ \textup{dern\ae st:}\\&\sin(-2x)=-\sin{2x}=\frac{1}{2}\\\\ \textup{som for }p=-1\\ \textup{giver:}\\&-2x=\frac{\pi}{6}+p\cdot 2\pi\qquad p\in\mathbb{Z}\\ \\&-2x=\frac{\pi}{6}-\frac{12\pi}{6}=\frac{-11\pi}{6}\\\\&2x=\frac{11\pi}{6}\\\\&x=\frac{11\pi}{12} \end{}$

Svar #11
18. juli 2025 af ca10

Til Svar #9 ringstedLC

Tak for svaret

Jeg vil genlæse genlæs https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2044484 og

Repetér eventuelt trigonometri på https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/trigonometri

og se de relevante formler (116-128) i FS.

Til Svar #10 mathon

Jeg ser nærmere på svaret.

Tak for svaret.

På forhånd tak.

Svar #12
19. juli 2025 af ca10

Til Svar #9 ringstedLC

Jeg har været inde på

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2044484 og

på https://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/trigonometri

Jeg har gennemlæst dem.

Til gengæld har jeg ikke kunne finde FS.

Jeg har i stedet for set på STX A-niveau og set formlerne side 22:

(122) sin(x+2π) = sin(x)

(123) sin(-x) = -sin(x).

Udvalgte funktionsværdier side 23 og specielt

grader 30^o

radiantal π / 6

sin 1 / 2

Til svar #10 mathon

Du skriver følgende:

sin(2x) = - 1/2 x ∈ [0; π]

sin(π +2x) = -sin(x) = -1/2

π +2x = sin^-1 = π /6 + p • 2π , p ∈ Z

som for p = 1

2x = π / 6 - 6π / 6 + 12π /6 (du laver her fællesnævneren π/6)

2x = 7π /6

x= 7π / 12

Jeg kan godt se at din løsning af x-værdier, hvor x = 7π / 12 ≈ 1.8 passer med facitlisten.

Men jeg undre mig alligevel over den formel du anvender:

sin(π +2x) for den formel jeg finder er formel (122) som er sin(x+2π) = sin(x)

Jeg kan godt se hvis man i stedet for skrev følgende:

x+2π = sin^-1 = π /6 + p • 2π og p = 1

så ville der i stedet for stå:

x = π /6 + 2π - 2π = π /6 ≈ 0,5 og det ville være en forkert løsning.

Så mit spørgsmål, er hvorfra kommer sin(π +2x) for den formel kan jeg ikke finde?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #13
19. juli 2025 af jl9

En almindelig sinus funktion er 2Pi periodisk. Med funktionen sin(2x) er er frekvensen det dobbelte, eller "2 gange", derfor er perioden det halve, altså 1*Pi. Funktionen gentager altså sig selv efter 1*Pi.

Sinus funktionen svinger op og ned, og den krydser y=0 både på vejen op og på vejen ned. Derfor kan man sige at der er 2 gange uendeligt mange løsninger, men opgaven beder kun om de løsninger hvor x er mellem 0 og Pi.

En lommeregner med arcsin vil typisk kun give ét resultat, selvom der er de 2 gange uendelige løsninger.

Vedhæftet fil:Untitled.png

Brugbart svar (1)

Svar #14
19. juli 2025 af mathon

Til #12

De 2x stammer fra
$\begin{array}{lllllll} &\sin(2x)=-\frac{1}{2}\\\\ \textup{hvor i }&\pi + 2x\;\;2x \;\textup{er det antal radianer } \textup{ der skal til udover v\ae rdien }\pi \textup{ for at opn\aa\ den}\\& \textup{negative v\ae rdi }-\frac{1}{2}\\\\&\sin(\pi+2x)=\sin(\pi)\cdot\cos(2x)+\cos(\pi)\cdot \sin(2x)=0\cdot \cos(2x)+(-1)\cdot\sin(2x)=\\\\\\&-\sin(2x)=-\left(-\frac{1}{2} \right )=\left(\frac{1}{2} \right )\\\textup{hvoraf}\\&\sin(\pi+2x)=\left(\frac{1}{2} \right )\\\\\\& \sin^{-1}\left(\sin(\pi+2x) \right )=\sin^{-1}\left(\frac{1}{2} \right )\\\\\\& \pi+2x=\frac{\pi}{6}+p\cdot 2\pi\qquad p\in\mathbb{Z}\\\\\textup{Det g\ae lder nu}& \textup{om at finde en v\ae rdi for }p\textup{ s\aa }\\\\&0<x<\pi. \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #15
19. juli 2025 af ringstedLC

#12
Jeg har i stedet for set på STX A-niveau og set formlerne side 22:

(122) sin(x+2π) = sin(x)

(123) sin(-x) = -sin(x).

Til svar #10 mathon

Du skriver følgende:

sin(2x) = - 1/2 x ∈ [0; π]

sin(π +2x) = -sin(x) = -1/2

Godt, - da det er den, der menes med FS.

(122) er ikke relevant her på grund af intervallets begrænsninger. Men med (123) og (124):

$\begin{align*} \sin\bigl(-\theta\bigr) &= -\sin\bigl(\theta\bigr) &&\textup{formel (123)} \\ \sin\bigl(-\theta\bigr)=\sin\bigl(\pi-(-\theta)\bigr) &= -\sin\bigl(\theta) &&\textup{formel (124)} \\ \sin\bigl(\pi+\theta\bigr) &= -\sin\bigl(\theta) \\ \sin(\pi+2\,x) &= -\sin\bigl({\color{Red}2\,x}) \quad,\,2x=\theta \end{}$

som er dét, der står i #10.

Svar #16
19. juli 2025 af ca10

Til Svar #13 jif.

Tak for svaret, men jeg ved ikke helt hvordan jeg skal forstå dit svar, i forhold at bestemme at løse at

f ( x ) = 0

Til Svar #14 mathon

Jeg ser nærmere på dit svar.

Tak for svaret.

Til Svar #15 ringstedLC.

Det er muligt at, jeg ikke har forstået trigonometriske funktioner rigtigt, men jeg har svært ved at se følgende:

sin(-0) = -sin(0) = -sin (0)

sin(-0) = sin( π - ( - 0 ) = - sin (0)

sin ( π + 0 ) = - sin (0)

sin( π + 2 x ) = - sin (2x) , 2x = 0

Mit spørgsmål er, hvorfra kommer den variable x fra. Jeg kan se af Svar# 10, mathon at den anvendes til at bestemme at:

x = 7π / 12 som også er rigtig, Jeg beklager, men jeg forstår ikke måden at løse opgaven på?

Der mangler måske nogle mellemregninger.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #17
19. juli 2025 af ringstedLC

I #12 undrer du dig over hvorfor:

$\sin(\pi+2\,x)=-\sin(x)$

hvilket ikke er rigtigt.

I #15 viser jeg med formler (fra FS), hvorfor #10's "Først bruges:" er rigtig:

$\sin(\pi+2x)=-\sin(2x)=\frac{1}{2}$

og påpeger din "tastefejl".

Brugbart svar (1)

Svar #18
20. juli 2025 af ringstedLC

Måske vil et eksempel være mere forklarende:

$\begin{align*}\angle\, v &= \tfrac{\pi}{4}=45^\circ \\\textup{i radianer}:\\ \sin\bigl(\pi+2\cdot \tfrac{\pi}{4}\bigr) &= -\sin\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{4}\bigr) \\ \sin\bigl(\tfrac{\pi\,\cdot\,2\,+\,\pi}{2}\bigr) &= -\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) \\ \sin\bigl(\tfrac{3\,\pi}{2}\bigr) &= -\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) \\ -1 &= -1 \\ \textup{i grader}:\\ \sin(180^\circ+2\cdot 45^\circ) &= -\sin(2\cdot 45^\circ) \\ \sin(270^\circ) &= -\sin(90^\circ) \\ -1 &= -1 \end{}$

Skulle fx denne ligning løses:

$\begin{align*} \sin\bigl(\pi+2\,x\bigr) &= -1\;,\;0\leq x\leq \pi \end{}$

kan dette bruges:

$\begin{align*} -\sin\bigl(2\,x\bigr) &= -1 \\ \sin\bigl(2\,x\bigr) &= 1 \\ 2\,x &= \sin^{-1}(1)=\tfrac{\pi}{2} &&\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}=\angle v=45^\circ \end{}$

Grafisk vil det dels sige at punktet:

$\begin{align*} \Bigl(\tfrac{\pi}{4}\,,-\sin\bigl(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr) &= \Bigl(\tfrac{\pi}{4},-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) =\bigl(\tfrac{\pi}{4},-1\bigr) \end{}$

er minimumspunktet for funktionen, da -1 ≤ sin(x) ≤ 1 og at punktet:

$\begin{align*} P_1=\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\,,\sin\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr) &= \Bigl(\tfrac{\sqrt 2}{2},\tfrac{\sqrt 2}{2}\Bigr) \end{}$

er punktet (1,0) drejet med v = 45º (mod uret / venstre om) på enhedscirklens periferi.

Det betyder:

$\begin{align*} \angle P_1OP_0 &= \tfrac{\pi}{4}=45^\circ\quad,\;O=\bigl(0,0\bigr) \;,\; P_0=\bigl(1,0\bigr) \end{}$

Hvis (1,0) drejes yderligere 45º :

$\begin{align*} 2\cdot\! \angle P_1OP_0=\angle P_2OP_0 &= \tfrac{\pi}{2}=90^\circ \\ \Rightarrow P_2 &= (0,1)=\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr),\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) \\ \sin\Bigl(\angle P_2OP_0\Bigr) &= \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1 \\ -\sin\Bigl(\angle P_2OP_0\Bigr) &= -\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1=\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) \\ \Rightarrow P_3 &= (0,-1)=\Bigl(\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr),\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) \\ \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #19
24. juli 2025 af mathon

I brugsalmindelighed bør
du være bekendt med:

$\begin{array}{llllll} \sin(-x)=-\sin(x)& \textup{sinus er en ulige funktion}\\\\ \cos(-x)=\cos(x)& \textup{cosinus er en lige funktion} \end{}$

Svar #20
24. juli 2025 af ca10

Til svar #19 mathon

Det kan jeg godt se.

Tak for svaret

Forrige 1 2 Næste

Der er 27 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.