Matematik

Hjælp til vinkel mellem to tangenter

06. oktober 2025 af Denstuderende25

Hej SP

Som titlen også siger, vil jeg gerne bede om hjælp til at beregne vinklen mellem to tangenter/to kurvers tangenter.
Kurverne kan ses i det vedhæftede skærmbillede

Jeg har to følgende funktioner:

$f(x) = 0.001x^3 - 0.15x^2 + 3x + 18, \quad x \geq 0$

$g(x) = -0.0005x^3 + 0.15x^2 - 3x + 18, \quad x \geq 0$

Jeg har beregnet funktionernes skæringspunkter til at være:

x = 0., 177.4596669, 22.54033308
Beregnet med maple's solve-kommando.

Jeg har prøvet at bruge denne formel til vinklen mellem:

$\tan \theta = \left| \frac{m_g - m_f}{1 + m_g m_f} \right|$

hvor jeg har beregnet vinklen til at være 42.51148486°. Jeg ved ikke om det er rigtigt, derfor vil jeg gerne spørge om bekræftelse.

m_g og m_f er hældningen for de to funktioners tangenter.

Ekstra spørgsmål: Hvad er et dobbeltpunkt? Et dobbeltpunkt er det punkt, hvor kurven skære sig selv (parameterkurve). Er det korrekt forstået?

Tak på forhånd.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2025-10-06 201140.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
06. oktober 2025 af SuneChr

Benyt enhedsvektor for retningen af den ene tangent og benyt enhedsvektor for retningen af den anden tangent. Prikproduktet af de to enhedsvektorer er cos af vinklen mellem de to tangenter.

Der er ikke dobbelt- eller tredobbelt punkt her, men en kurveskæring tre steder.
Dobbeltpunkter har vi i parameterfremstillinger, hvor der til to parameterværdier modsvarer ét og samme punkt på kurven.

Brugbart svar (1)

Svar #2
06. oktober 2025 af peter lind

#0 Den formel du bruger til beregningen af vinklen er korrekt

Brugbart svar (1)

Svar #3
06. oktober 2025 af ringstedLC

#0: Der er kun to skæringspunkter (kriterie: 0 ≤ x ≤ 30). Det giver to sæt tangenter:

$\begin{align*} \angle\,\theta_1\textup{\,i punktet}\bigl(x_1,f(x_1)\bigr) &= (0,18) \\ \cos(\theta_1) &= \frac{\binom{1}{f'(0)}\cdot \binom{1}{g'(0)}}{\sqrt{1^2+f'(0)^2}\cdot\sqrt{1^2+g'(0)^2}} \\ &= \frac{1\cdot1+3\cdot(-3)}{\sqrt{1^2+3^2}\cdot\sqrt{1^2+(-3)^2}} \\ \cos(\theta_1)&= -\frac{8}{10} &&\Rightarrow \qquad\theta_1=143.13^\circ \\ &&&\Rightarrow \theta_{1,\,spids}=36.87^\circ \\\\ \angle\,\theta_2\textup{\,i punktet}\bigl(x_2,f(x_2)\bigr): \\ \cos(\theta_2) &= \frac{\binom{1}{f'(x_2)}\cdot \binom{1}{g'(x_2)}}{\sqrt{1^2+f'(x_2)^2}\cdot\sqrt{1^2+g'(x_2)^2}} \\ \cos(\theta_2)&= ... &&\Rightarrow \qquad\theta_2=...^\circ \\&&&\Rightarrow \theta_{2,\,spids}=...^\circ \end{}$

Svar #4
07. oktober 2025 af Denstuderende25

#2
#0 Den formel du bruger til beregningen af vinklen er korrekt

Har jeg beregnet vinklen korrekt?

Svar #5
07. oktober 2025 af Denstuderende25

Tak for hjælpen. Har fundet ud af det.

Brugbart svar (1)

Svar #6
07. oktober 2025 af SuneChr

Tangensformlen nævnt i # 0 er let at udlede. Jeg ved ikke, om du har benyttet den færdige formel
eller udledt den ved en geometrisk betragtning.
Man benytter, at hældningskoefficienten til en linje er tangens til vinklen, linjen danner med x-aksen.
Vinklen i skæringspunktet mellem to linjer er differencen mellem de to vinkler.
Med den trigonometriske identitet tan(Θ₂ - Θ₁) = (tan Θ₂ - tan Θ₁) / (1 + tan Θ₂·tan Θ₁)
genkendes den anvendte formel.

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. oktober 2025 af mathon

Førstekoordinaten til funktionernes skæringspunkt er:

x_o = 22.54033308 (Der er KUN ét skæringspunkt i intervallet 0 ≤ x ≤ 30)

Jeg har prøvet at bruge denne formel til vinklen mellem:

$\tan \theta_{\textup{spids}} = \left| \frac{m_g - m_f}{1 + m_g m_f} \right|=0.916726$

$\theta_{\textup{spids}} =\tan^{-1}(0.916726)=42.51\degree$

...

hvor jeg har beregnet vinklen til at være 42.51148486°. Jeg ved ikke om det er rigtigt, derfor vil jeg gerne spørge om bekræftelse.

Så din beregning ser ud til at være rigtig.

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. oktober 2025 af mathon

Rettelse:

Førstekoordinaterne til funktionernes skæringspunkter er:

x₁ = 0 x₂ = 22.54033308

Jeg har prøvet at bruge denne formel til vinklen mellem:

$\tan( \theta_{\textup{spids}_2}) = \left| \frac{m_g - m_f}{1 + m_g m_f} \right|=0.916726$

$\theta_{\textup{spids}_2} =\tan^{-1}(0.916726)=42.51\degree$

...

hvor jeg har beregnet vinklen til at være 42.51148486°. Jeg ved ikke om det er rigtigt, derfor vil jeg gerne spørge om bekræftelse.

Så din beregning ser ud til at være rigtig.

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. oktober 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll}&& f{\,}'(0)=3\qquad g{\,}'(0)=-3\\\\&& \tan(\theta_{\textup{spids}_1})=\left|\frac{-3-3}{1+(-3)\cdot (3)}\right|=\frac{3}{4}\\\\&& \theta_{\textup{spids}_1}=\tan^{-1}\left(\frac{3}{4} \right )=36.87\degree \end{}$

Skriv et svar til: Hjælp til vinkel mellem to tangenter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.