Matematik
Integrale af en funktion med sqrt
Allright, vi bliver bedt om i denne opgave at integrere funktionen:
L=∫125√(1+f'(x)2)dx
Hvor at f'(x)=3⋅0,009375x2-2⋅0,3219x+2,391
Jeg spurgte min lærer til råds, og han siger: substituer, men det lærer vi først i 3.g (2.g nu) ^^, men ikke desto mindre har jeg prøvet:
L=∫125 √(1+(3⋅0,009375x2-2⋅0,3219x+2,391)2)dx
t=3⋅0,009375x2-2⋅0,3219x+2,391
dt/dx=0,05625x-0,6438
(0,05625x-0,6438)⋅dx=dt
dx=dt/((0,05625x+0,6438))
∫125 √(1+(t)2)dx
∫125 √(1+(t)2)⋅(dt/(0,05625x+0,6438))
Næsten F(x)=(((1+(t)2 )3/2)/(3/2))⋅((0,05625x2+0,6438)/2)dt
F(x)=(((1+(3⋅0,009375x2-2⋅0,3219x+2,391)2)(3/2))/(3/2))⋅((0,05625x2+0,6438x)/2)
Resultatet på denne metode giver et afvigende resultat (jeg har tegnet funktionen i graph, og buelængden af den originale funktion = 37,5767 meter)
Hvad burde jeg gøre i stedet for?
Svar #1
19. april 2011 af NejTilSvampe
jeg vil forslå dig at bruge en trigonometrisk substitution, hvor du f.eks. siger at
-f'(x)^2 = sin(t)^2 => 1+f'(x)^2 = cos(t)^2
dt / dx = -2f''(x)*f'(x) => dt = -2f''(x)*f'(x) dx = -2*(-2*sin(t)*cos(t))*(-sin(t)^2) dx= -4sin(t)^3*cos(t) dx
∫ √(1+f'(x)^2) dx = ∫ √(cos(t)^2) * -4*sin(t)^3*cos(t) dx = -4*∫cos(t)^2 * sin(t)^3 dx
dx = dt/-4sin(t)^3 *cos(t)
∫ cos(t) dt = sin(t)
sin(t)^2 = -f'(x)^2 => t = sin-1 ±√(-f(x)^2)
sin(t) = sin(sin-1 ±√(-f(x)^2))
F(x) = ±√(-f(x)^2) + k
har på fornemmelsen jeg har lavet en fejl et eller andet sted, så tjek selv lige efter, men dette er mit bud.
Svar #2
20. april 2011 af Bootstrap (Slettet)
Ved brugen af denne metode får jeg komplekse tal, hvilket er lidt uheldigt, når der er tale om en længde på en funktion.
Svar #3
20. april 2011 af NejTilSvampe
ja det klart :p - f(x)^2 < 0 , det er også derfor jeg siger jeg har lavet en fejl et sted =)
og den ligger i at det er
∫ -1/(4sin^3 (t)) dt du skal integrere, hvilket i sig selv er lige så stor en udfordring. Så glem denne metode =)
Når jeg taster det ind på maple får jeg en løsning der er en a4 side lang... så mit råd er: bare brug et cas værktøj.
Svar #4
20. april 2011 af Bootstrap (Slettet)
jeg kan ikke engang få maple til at løse den.
Kan du ikke skrive hvad du indtaster i maple, for at få den til at udregne? Jeg er lidt ny til maple. :-)
Skriv et svar til: Integrale af en funktion med sqrt
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.