((e^h - 1) / h) → 1 når h → 0

 jeg TROR ikke man kan.. jeg kan selvfølgelig ikke vide det med sikkerhed.

det oplagte ville jo være at bruge l'hospitals, men der benytter du jo netop at du kender differentiakvotienterne.

Problemet er, at jeg skal bevise differentialkvotienterne, i hvilken forbindelse jeg er stødt på problemet, måske er jeg så gået en forkert vej, hvis ikke man kan?

#2

Hvordan er eksponentialfunktionen e^x blevet defineret eller karakteriseret indtil dette trin i dit pensum?

du kan bevise at differentialkvotienten af ln(x) er 1/x  vha. tretrinsreglen. Hvis vi antager at du har gjort dette:

 ln(x) er den inverse funktion af e^x 

ln(e^x) = x 

differetnier begge sider, venstre side mht. reglen for sammensatte funktioner.

1/e^x * (e^x)' = 1  

gang med e^x på begge sider

(e^x)' = e^x

#4

Det er helt korrekt, og det er vist en meget benyttet fremgangsmåde. Men sidste linie i #0 siger desværre, at differentialkvotienten for e^x og ln(x) kendes ikke. :-(

 #5 - det ved jeg, derfor nævnte jeg også lige kort hvordan han kunne bevise differentiationkvotienten af ln(x) først :p

  Hvis du må benytte at

får du næsten resultatet "gratis"

Da jeg lige var begyndt at kikke på det dukkede den som i #7 hurtigt op, og jeg synes det så ud til at være nøglen, men nogen siger altså bare at man ikke kan tillade sig at benytte den (at der ikke er tale om en defintion på e) :/

Jeg har også tænkt på om man kunne starte ud fra Eulers identitet og vise tingene herudfra, da sin og cos er nemme at bevise differentialkvotienten for.

#8

Kan du forsøge at opsummere, hvad der er kendt for dig (inden for dette område). Hvorledes er eksponentialfunktionen indført eller defineret? Se også #3.

Der er også

 sludder det går da mod 1 :P den tanke gang kan da vist ikke bruges overhovedet glem #10.

 #10. Det er faktisk en god ide at benytte potensrækkedefinitionen for e^x. 

og derfor får du

Som Andersen11 nævner i #3 og #9 er problemet så om det er den "rigtige" definition.

#12

Metoden med at benytte potensrækken for e^x er jo også en brugbar metode, hvis man ellers har den til rådighed på det trin, hvor man skal bestemme den afledede af e^x . Hvilken metode, der er anvendelig, afhænger helt af, hvorledes eksponentialfunktionen er blevet defineret eller karakteriseret i den pågældende fremstilling. Derfor har jeg i denne og et par lignende opgaver, som er blevet stillet her fornylig, bedt trådstarterne om klart at gøre rede for forudsætningerne.

Man kan f.eks. definere e^x ved potensrækken i #12 og så ud fra den vise en række egenskaber ved e^x, herunder hvorledes den afledede beregnes.

Man kan også definere e^x som løsningen til differentialligningen dy/dx = y , med y(0) = 1. Udtrykket for den afledede følger så trivielt af definitionen.

Man kan også definere ex som den omvendte funktion til ln(x), hvor ln(x) defineres som den stamfunktion på R+ til 1/x, for hvilken ln(1) = 0, altså som ln(x) = ₁∫^x (1/t) dt . I dette tilfælde giver NejTilSvampe's fremgangsmåde i #4 beviset for den afledede af e^x .

  hmm.. lille smule off topic her, men hvordan beviser i at ( ln(x) )' = 1/x ? for jeg plejer nemlig at bruge

Jeg ved heller ikke selv hvordan vi har defineret e, tror blot vi har sagt det er ln(x)'s inverse.

Kan man godt bare sige at ln(x)'s definition er at det er en stamfunktion til 1/x... det virker lidt som et svagt grundlag på en eller anden måde i mine øjne.. 

#14

Ligesom der er flere måder, hvorpå e^x kan defineres eller karakteriseres, er der også flere måder, hvorpå ln(x) kan defineres. Hyppigt ser man logaritmerne defineret som en klasse af kontinuerte funktioner på R₊ , der opfylder funktionalligningen

f(a·b) = f(a) + f(b) , for a > 0 , b > 0

og hvor der netop findes een funktion, der yderligere opfylder betingelsen f(g) = 1 , hvor g > 0 er et udvalgt reelt tal. Denne funktion kaldes så logaritmen med basis g , log_g(x) . Man kan så vise, at log_g(x) er differentiabel, og at der findes et bestemt grundtal g₀ for hvilket dlog_g0(x)/dx(x=1) = 1 , og dette grundtal kaldes e .

Alternativt kan man definere ln(x) = ₁∫^x (1/t) dt og så vise , at for a > 0 , b > 0 haves

ln(a·b) = ₁∫^ab (1/t) dt = ₁∫^a (1/t) dt + _a∫^ab (1/t) dt = ₁∫^a (1/t) dt + ₁∫^b (1/u) du = ln(a) + ln(b) ,

dvs. funktionen defineret via integralet opfylder funktionalligningen for logaritmerne. Her kan man så definere tallet e som løsningen til ligningen

1 = ₁∫^x (1/t) dt