parallel med linjen differentialregning

 kan jeg finde den anden ligning ved at sig y '(1) og y(1) ?

Det er helt samme fremgangsmåde, som blev anvendt i din anden tråd https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1051874

Linien med ligningen y = -2x+3 har hældningskoefficienten -2 . De søgte tangenter til grafen for f(x) , der skal være parallelle med den givne linie, skal derfor have hældningskoefficient -2 . Man skal derfor løse ligningen

f'(x) = -2 , dvs

3x² -5 = -2 , eller

x² = 1

Du har ikke løst denne ligning fuldstændigt. Det er en 2.-gradsligning.

x² = 1 ⇔ x² -1 = 0 ⇔ (x+1)·(x-1) = 0

Benyt nu nulreglen for et produkt til at løse ligningen. Der er to forskellige rødder i ligningen.

     t(angent)₁
                                   y = -2(x-x_o1) + f(x_o1)

     t(angent)₂
                                   y = -2(x-x_o2) + f(x_o2)

...

     Bestem et vilkårligt punkt på t₁.
     Beregn - med punkt-linje-afstandsformlen - det valgte punkts afstand til t₂.
 

      vilkårligt punkt:       P_o(x_o,y_o)
                                         
      linjen                      L:  y = ax + b

      dist(L,P_o(x_o,y_o))  =  |a·x_o - y_o + b| / √(a²+1)

 x2 = 1 ⇔ x2 -1 = 0 ⇔ (x+1)·(x-1) = 0

nulreglen:
X²-x+1x-1=0

x²-1=0

1 ^ 0 
 

#5

Nulreglen for et produkt siger, at et produkt er nul, hvis en eller flere af produktets faktorer er nul. Vi har altså:

(x+1)·(x-1) = 0 ⇔

x+1 = 0 ∨ x-1 = 0 ⇔

x = -1 ∨ x = 1 .

Bestem nu ligningerne for de to tangenter, og bestem dernæst afstanden mellem de to tangenter, som mathon har gennemgået det i #3 og #4 .

  t(angent)1
y = -2(x-xo1) + f(xo1)

y= -2*(x-1) +(-2)
f(x01)= -2
y=-2x+2-2  
y=-2x+0

t(angent)2
y = -2(x-xo2) + f(xo2)
y=-2(x-1)+ 0
f(x02) =0 <=> 1³-5+4 =0

y= -2x+1

...

#7

Du skal benytte, at x₀₁ = -1 og x₀₂ = 1

Du har ikke beregnet t(angent)1 korrekt .

f(x₀₁) = f(-1) = (-1)³ - 5·(-1) +4 = -1 +5 +4 = 8

 tak. men hvilke tal skal jeg bruge i dist-formlen? er det X01 eller x02 ?

#9

Genlæs #3.

Bestem et punkt på den ene tangent og beregn så afstanden fra dette punkt til den anden tangent. Det er jo afstanden mellem de to parallelle tangenter.

 Tak

#3

     t(angent)₁  x_o = -1
                                   y = -2(x-(-1)) + f(-1)
                                   y = -2(x+1) + 8

                                   y = -2x + 6                                     (0,6) ligger på t₁

     t(angent)₂  x_o = 1
                                   y = -2(x-1) + f(1)
                                   y = -2(x-1) + 0

                                   y = -2x + 2

    tangentafstand:
                                   dist(t₂,(0,6)) = |-2·0 - 6 + 2| /√((-2)²+1) =

                                                        4/√(5) ≈ 1,79

Generelt fås afstanden mellem to parallelle linier i planen:

          L₁:  y = a·x + b₁      og

          L₂:  y = a·x + b₂

som

d(L₁,L₂) = |b₂ - b₁| / √(1 + a²)

Dette indses ved at bemærke, at den søgte afstand er katete i en retvinklet trekant med hypotenusen
|b₂ - b₁| , og hvori katetens hosliggende vinkel α er bestemt ved tan(α) = |a| .

Er linierne parallelle med y-aksen, dvs på formen

          L₁:  x = b₁        og

          L₂:  x = b₂

findes afstanden mellem de to linier til

d(L₁,L₂) = |b₂ - b₁|

den generelle udledning kunne også være

#13

Generelt fås afstanden mellem to parallelle linier i planen:

          L₁:  y = a·x + b₁      og

          L₂:  y = a·x + b₂

som

                                             d(L₁,L₂) = |b₂ - b₁| / √(1 + a²)

Da punktet (0,b₁) ligger på L_1,
beregnes dets afstand fra L₂:

                         d(L₁,L₂) = dist(L₂,(0,b₁)) = |a·0 - b₁ + b₂| / √(a²+1) = |b₂ - b₁| / √(1 + a²)

Er linierne parallelle med y-aksen, dvs på formen

          L₁:  x = b₁        og

          L₂:  x = b₂

findes afstanden mellem de to linier til

d(L₁,L₂) = |b₂ - b₁|