Matematik
komplethed for reelle tal
Jeg læser om kompletheden for de reelle tal. Jeg kan selvfølgelig se, at det er nødvendigt, at der ikke er huller i de reelle tal, for at vi kan definere kontinuitet osv., men jeg har svært ved at se, hvorfor de reelle tal ikke har huller. Jeg har læst om supremum og infinum, og ser hvorledes dette aksiom (som det vel er?) sikrer, at der ikke er hul i reelle tal. Når man anvender dette aksiom på de rationale tal, så ser man, at der er huller i visse mængder- eks. A = {x->R l 0<x^2<2}, og hvordan man f.eks. her må indføre det irrationelle tal 2^½. Men! Er det kun ved specielle mængder som f.eks. denne her, at de irrationelle tal opstår, og hvordan kan man vide, at der ikke findes uendeligt mange forskellige typer irrationelle tal for de uendeligt mange forskellige mængder man kan skrive ved hjælp af multiplikation og addition?
Svar #1
03. september 2011 af Andersen11 (Slettet)
De irrationale tal er defineret som R \ Q , dvs. alle de reelle tal, der ikke er rationale. Der findes dog flere typer af irrationale tal, idet man kan definere mængden af reelle algebraiske tal, som er en delmængde af R, der helt indeholder Q . Mængden A af de algebraiske tal defineres som mængden af komplekse tal, der er rødder i et polynomium med hele koefficienter. Der gælder, at
Q ⊂ (R∩A) ⊂ R
Et reelt tal, der ikke er algebraisk, kaldes et transcendent tal. Tallene e og π er eksempler på reelle transcendente tal, mens √2 er et eksempel på et reelt algebraisk tal.
Svar #2
03. september 2011 af zezima (Slettet)
Jeg var nok lidt for hurtig til at sige, at jeg forstod hvorfor komplethedsaksiomet sikrer, at de reelle tal ingen huller har. Hvordan kommer man fra, at tallene i enhver delmængde af R, som har et supremum og infimum ligger uendeligt tæt?
Skriv et svar til: komplethed for reelle tal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.