Begrænset funktion

Jeg har et spørgsmål omkring et bevis med kontinuitet. Det går ud på at bevise, at en funktion defineret på et lukket interval altid er begrenset. Indlysende som sætningen er, så synes jeg beviset er ret svært.
Det går ud på at kigge på intervallet [a,b] som funktionen er defineret på. Dette kan deles op i to delintervaller:
[a,(a+b)/2] og [(a+b)/2,b]. Og siden f er begrænset på det først må den også være begrænset på mindst et af disse intervaller. Kald dette for [a1,b1]. Man gør nu det samme, deler det op i to lige stor intervaller og siger, at f må være ubegrænset på mindst et af disse intervaller. Således får man en uendelig kæde af intervaller [an, bn]. Man kan nu fremsige en selvmodsigelse (og det er her jeg falder af). Der står i min bog ordret:
Da f er ubegrænset på alle vores intervaller kan vi for hver n vælge et punkt cn tilhørende [an,bn] og der gælder lf(cn)l > n. Derfor ser vi:
lim lf(cn)l for n gående mod uendelig = uendelig
Resten af beviset går så ud på bevise, at f(cn) må konvergere mod en værdi f(c), og deraf selvmodsigelsen – men det er irrelevant, for det forstår jeg. Jeg vil gerne have forklaret hvad helt præcist menes med, at vi ”for hver n kan udtage et tal cn således, at lf(cn)l>n. n er jo indekset for følgende altså (an) og (bn), og hvordan har det noget at gøre med et tal n, som vi udtager. Kan nogen pædagogisk forklare, hvad der gøres her?