komplekse løsninger til en ligning :)

Ligningen er z² -2iz -(1-i) = 0 . I princippet kan den løses ved hjælp af rodformlen for 2.-gradsligninger, hvor man så skal have fat i komplekse kvadratrøddder.

Man kan starte med at kvadratkomplettere leddene z2 - 2iz :

z² -2iz - (1-i) = z² -2iz +i² -i² - (1-i)

                      = (z - i)² +1 -1 +i

                      = (z - i)² + i = 0 ,

hvoraf

(z-i)² = -i = e^i3π/2 = (e^i3π/4)² ,

hvoraf

z = i + e^i3π/4

   = cos(3π/4) + i(1 + sin(3π/4)) , eller

z = i - e^i3π/4

   = -cos(3π/4) + i(1 - sin(3π/4))

er du sikker? hvis man skal løse det med lommeregneren hvad skal man indtaste?

#2

Der er da ingen grund til at bruge lommeregner. Benyt, at cos(3π/4) = -(√2)/2, og sin(3π/4) = (√2)/2 .

kan vi godt være enige om at du har lavede en taste fejl ved, 

(z-i)2 = -i = ei3π/2 = (ei3π/4)2 ,

hvor der burde stå (z - i)2 + i i starten, du har sat = ?? kan det passe? 

#4

Nej, det er vi ikke enige i.

Ligningen lød

(z - i)² + i = 0 ,

hvilket jeg omskriver til

(z - i)² = -i = ...

okay, men hvad er det du brger i starten for det forstår jeg slet ikke :(, hvilken formel bruger du tl at kvadratkomplettere leddene :( har virkelig svært ved at forstå det og det må du undskylde :(

#6

Man benytter en velkendt kvadratsætning, at (a + b)² = a² + 2ab + b²

Hvis z² -2iz skal være de to led a² + 2ab   i   (a + b)² , aflæser man, at a = z, og b = -i , så

z² -2iz = (z - i)² - (i²) = (z - i)² +1 , hvorved så fås

z² -2iz - (1-i) = (z - i)² + 1 - 1 + i = (z - i)² + i .

Går du ikke udregningerne igennem på papir ved siden af?

Hej er det muligt at få uddybet hvad der præcis foregår ved
(z-i)2 = -i = ei3π/2 = (ei3π/4)2 ,

hvoraf

z = i + ei3π/4
Jeg er ikke sikker på at jeg forstår 3pi/2 :S  
på forhånd tak!

#8

e^i·3π/2 = cos(3π/2) + i·sin(3π/2) = 0 + i·(-1) = -i .

Man benytter også, at (e^a)² = e^2a , så

-i = (e^i·3π/4)² .

Dermed er

z - i = ±e^i·3π/4

Yes det er jeg med på, men når du skriver dette står jeg af :S ei3π/2 = (ei3π/4)2 ?
undskylder for ulejligheden !

Jeg er med nu! :) 
- dog faldt jeg for en anden ting jeg ikke helt forstår! 
-cos(3π/4) + i(1 - sin(3π/4)) hvorfor trækkes 1 fra i   (1-sin(3pi/4))

#11

Fordi man har

z - i = ±e^i·3π/4

og derfor får

z = i ±e^i·3π/4 = i ± (cos(3π/4) + i·sin(3π/4))

   = ±cos(3π/4) + i·(1 ± sin(3π/4))

Konstanten i sættes uden for parentes.

Når du så flytter den ud, altså konstanten i ud for parentesen, skriver man så 1 i stedet? 

#13

Ja, det gør man da. Man skulle jo gerne komme tilbage til det oprindelige ved at gange ind igen.

a + a·b = a·(1 + b)

Mange tak for hjælpen! :)