Integralregning uden hjælpemidler.

delvis integration 5 gange:

                                   ∫ (e^x(1+e^x)⁵) dx = e^x(1+e^x)⁵ - 5∫e^x·(1+e^x)⁴dx

∫e^x·(1+e^x)⁴dx = e^x(1+e^x)⁴ - 4∫e^x·(1+e^x)³dx

∫e^x·(1+e^x)³dx = e^x(1+e^x)³ - 3∫e^x·(1+e^x)²dx

∫e^x·(1+e^x)²dx = e^x(1+e^x)² - 2∫e^x·(1+e^x)dx

∫e^x·(1+e^x)dx = ∫ (e^x+e^2x)dx = e^x + (1/2)e^2x + k

Det første integral beregnes ved at benytte formlen ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + k , for n ≠ -1 .

Det andet integral beregnes ved at benytte substitutionen u = 1 + e^x , du = e^x dx, så

∫ e^x·(1 + e^x)⁵ dx = ∫ u⁵ du = u⁶/6 + k = (1 + e^x)⁶ / 6 + k

#1

Det er ikke helt korrekt. Man har jo

∫ (e^x(1+e^x)⁵) dx = e^x(1+e^x)⁵ - 5 · ∫ e^x·(1+e^x)⁴·e^x dx

samlet
               ∫ (e^x(1+e^x)⁵) dx = e^x(1+e^x)⁵ - 5e^x(1+e^x)⁴ + 20e^x(1+e^x) - 60e^x(1+e^x) + 120e^x + 60e^2x + k

#1-3

Synes bare jeg er blevet mere i tvivl 

#5

Se fremgangsmåden i #2

ja der gik lidt rod i opskrivningen

som jo klares meget fiksere ved substitutionen

                        e^x = u      og dermed    e^xdx = du

                 ∫ (e^x(1+e^x)⁵ dx  =   ∫ (1+e^x)⁵ (e^xdx)  =    ∫ (1+u)⁵ du  =  (1/6)(1+u)⁶ + k = (1/6)(1+e^x)⁶ + k

som i #2

Alternativt har man

∫ (e^x(1+e^x)⁵) dx = ∫ e^x · (1 + 5e^x + 10e^2x + 10e^3x + 5e^4x + e^5x) dx

                            = e^x + (5/2)e^2x + (10/3)e^3x + (10/4)e^4x + (5/5)e^5x + (1/6)e^6x + k

                            = (1/6)·(6e^x + 15e^2x + 20e^3x + 15e^4x + 6e^5x + e^6x) + k

                            = (1/6)·(1 + e^x)⁶ - (1/6) + k

                            = (1 + e^x)⁶ / 6 + k',

helt i overensstemmelse med beregningen ved substitution i #2.

#6

kan bare ikke se sammenhængen ml.   ∫_-2⁰   (6x2-5x) dx og ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + k , for n ≠ -1

og det mathon har skrevet til 2. integral er det helt forkert ? eller hvorledes ?

#9

Man benytter formlen ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + k på hvert led i dette integral

_-2∫⁰ (6x² -5x) dx = [6·x³/3 - 5·x²/2]⁰_-2 = 2·0³ - (5/2)·0² - 2·(-2)³ + (5/2)·(-2)² = 16 + 10 = 26

#10

Okay kan godt se det nu.

men så skrev du : u = 1 + ex , du = ex dx, så i #2.

Det forstår jeg sådenset godt, men synes bare jeg er blevet meget i tvivl når du og mathon skrev hver jeres metode og fik hver jeres. Så du må lige fortælle hvad , der er hvad , så jeg ikke for lavet det forkerte, da jeg i forevejen er på bar bund, og prøver virkelig at forstå det her.

#11

Læs nu hele tråden.

Jeg gjorde opmærksom på en lille fejl i mathons udledning i #1, hvorfor resultatet i #1 og det deraf afledte i #4 ikke er korrekt, hvilket mathon jo også har anerkendt i #7, og hvor han så også når frem til resultatet i #2.

Udledningen i #8 er en mere brute-force udledning af det samme resultat i #2, hvilket viser styrken i substitutionsmetoden. Benyt udledningen i #2.

#11 

 - okay

i #8 skriver du at facit giver et tal + k'
hvorfor k(mærke?)

# 12-13

never mind - gik ud fra det var en trykfej

#13

Det var for at markere, at det var en lidt anden konstant end i linien ovenover, så man ikke gør vrøvl over, at det ene ikke er lig med det næste, hvis man kalder integrationskonstanten k i begge linier. Man låner lidt fra den arbitrære konstant k for at kunne skrive funktionsudtrykket lidt pænere.