Hjælp med naturlig eksponentiel funktion

der er lige smuttet et lille t i din formel :-)

N(t) = 2000/( 1+39·e^-0,14·t )

der er her tale om en logistisk vækst

1) antallet af individer til t = 0

N(0) =2000/( 1+39·e^-0,14·0 ) = 2000/(1+39·e⁰) = 2000/40 = 50 individer

Vedr. #1

Hovsa, glemte lige den med væksthastigheden ved t = 0

Hertil skal du bruge den afledede funktion N'(t), den bestemme lettest med egnet CAS-værktøj.

bestem herefter N'(0) hvilket giver 6,83 (hvilket betyder at populationen forøges
med 6,83 (næsten 7) individer pr døgn til tiden t = 0

       antallet af individer til tiden t = 0

                                                                           N(t) = 2000/(1+39·e^-0.14·0) = 50

                                                                           N '(t) = 0,00007·N(t)·(2000 - N(t))

                                                                           N '(0)  = 0,00007·N(0)·(2000 - N(0))

                                                                           N '(0)  = 0,00007·50·(2000 -50) = 6,825 ≈ 7
 

       til tiden t = 0 vokser populationen med 7 individer pr. døgn

På opgave formuleringen, er der ikke det t i formlen, som du har tilføjet, men det giver meget mere mening, med T'et tilføjet, så det må jeg vil gøre?

Mange tak for hjælpen værtifald, jeg vil lige prøve mig frem...

Jeg kan desværre ikke 2'eren...

Hvis jeg bruger mulighed 2, formlen og indsæt tal, hvor for jeg så 0,00007 fra??

Hvis jeg ikke ved det, så er jeg tvunget til at bruge CAS vejen, hvilket jeg så vil gøre...

Først skal jeg differentiere formlen, og dærnest finde N'(0), men når jeg prøver at differentiere den, så skriver den: 

d/dt(((2000)/(1+39*e^(−0.14*t))),t) ? ((10920.*(1.15027)^(t))/(((1.15027)^(t)+39.)^(2)))

med andre ord, hvad gør jeg hehe ?

se vedhæftede, - jeg har lige regnet den igennem med CAS værktøj (TI-nspire)

først definerer jeg N(t)

dernæst bestemmer jeg N(0)     populationens størrelse til t=0

Så bestemmes og defineres den afledede N'(t)  jeg har kaldt den nm(t) for "n-mærke" :-)

Sluttelig bestemmes N'(0)   altså væksthastigheden til t=0

tusind tusind tak Peter, virkelig mange gange tak... Det var åbenbart den rigtige ligning jeg fik, da jeg differentieret den, men kunne ikke finde ud af, at "solve" den, så benyttede din " :  udført " metode, og så fik jeg den løst :) mange tak

mht #5

Differentialligningen   y' = ay(M - y)  har den ikke-trivielle løsning  y = M/(1+c·e^-aMt) hvor c er en konstant

den i opgaven angivne logistiske vækst

N(t) = 2000/( 1+39·e^-0,14·t )

er netop af denne slags, derved kan du regne "baglæns"

hvis du ser på modellen for løsningen og den opgivne ligning, ser du sikkert straks:

-aM = -0,14    <=>   -a·M = -0,14    <=>   a = 0,00007        (det var der, "den" kom fra)

Sættes denne værdi og værdien for M (2000) ind i modellen for diff.ligningen, får du:

N '(t) = 0,00007·N(t)·(2000 - N(t))        (som Mathon viste dig i #3)

M (de 2000) kaldes forøvrigt for bæreevnen og er den øvre værdi for antallet af individer i populationen