Pendulet og 2. ordens differentialligning

Hvad er det, du ikke forstår? Det er en lineær 2. ordens differentialligning med løsningen

x(t) = A*sin(ω*t+F)

Dette indses ved at gøre prøve

Jeg sidder med denne differentialligning: (d^2 θ)/(dt^2 ) + g/l • θ = 0

Og ved at arbejde lidt med den skulle jeg kunne komme frem til dette: T = 2 • π •√(l/g)

Jeg aner bare ikke, hvordan jeg skal gribe det an :/

Hvordan kommer jeg frem til den løsning, som du skriver? :)

Jeg skal simpelthen bruge en tålmodig sjæl, som kan guide mig hele vejen fra min differentialligning til den færdige formel for svingningstid :)

Læg mærke til, at det handler om formlen for svingningstiden ved SMÅ udsving, så i differentialligningen er der skrevet θ i stedet for sin(θ), da sin(θ)  ≈ θ ved små vinkler.

du ved

θ^´´ + (g/l)θ = 0

D=-4*(g/l)

løsningen til en anden ordens diff. lign. med negativ diskriminant er

θ(t) = a*cos(ω*t) + b*sin(ω*t)

hvor ω = √g/l

Du ved at svingningstiden for en cirkelbevægelse er givet ved

T = 2*π / ω 

og dermed får du det søgte

T = 2*π*√l/g

Det der kigger jeg lige lidt på :)

Mange tak for svaret!

Hvad er det for en diskriminant du finder, og hvordan finder du den? :)

Jeg har aldrig lært om differentialligninger :/

ja du kan umiddelbart se en anden ordens diff lign. som en anden ordens ligning. Diskriminanten er her D=b^2 - 4ac men b=0 da der ikke er et hastighedsled i diff. ligningen. Derfor får du en negativ diskriminant

Jeg er ikke helt med. Jeg kender godt til diskriminanter, når det gælder om andengradsligninger, men hvordan ser man 2. ordens differentialligningen som en andengradsligning? Og er (g/l) a eller c eller ac? :)

Du omskriver θ^´´=R²

så får du R² +g/l=0

D=-4*g/l

løsningen er så lidt anderledes end du er vant til men for D<0 fås en løsning som beskrevet ovenfor.

Diskriminanten bruges i forbindelse med karakterligningen, hvis du inddrager dette, skal for d over nul ind på komplekse tal