repræsenter f med hensyn til basen

Brug at første søjle i A er f(a₁) anden søjle i A er f(a₂) o.s.v

Okay, ja den søjleregel har jeg set før, men jeg forstår stadig ikke helt, hvad det overhovedet vil sige, at man repræsenterer en funktion med hensyn til en base. Funktionen afbilder en given vektor ind i R4. Repræsenterer matricen så en matrix, der gør dette ved vores fire vektorer, eller hvad er det præcist, at den gør?
Hvis du kender en hjemmeside, der behandler netop sådan noget som lineære transformationer med hensyn til baser osv., så må du meget gerne skrive det her, for min bog er ærligt talt ikke særlig god for mig. 

#2

Ved hjælp af en basis (a₁, a₂, a₃, a₄) kan enhver vektor v i R⁴ skrives som en linearkombination af basisvektorerne

v = λ₁a₁ + λ₂a₂ + λ₃a₃ + λ₄a₄

og talsættet (λ₁,λ₂,λ₃,λ₄) kaldes vektoren v's koordinater med hensyn til basen (a₁, a₂, a₃, a₄) . Billedet af vektor v ved den lineære afbildning f er da

f(v) = λ₁f(a₁) + λ₂f(a₂) + λ₃f(a₃) + λ₄f(a₄)

og billedvektorerne f(a_i) udgør søjlerne i funktionens matrix A med hensyn til den valgte basis.

Benyt nu definitionen for f til at beregne billedvektorerne af basisvektorerne.

okay tak, men jeg forstår det stadig ikke helt. For i følge min bog skal matricen være udgjort af koordinatsøjlerne for f(a1)... f(an) med hensyn til den gamle basis. Den nye basis må vel være (a1,..an) men hvad er så den gamle basis?
 

(1, 0, 0, 0) (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) (0, 0, 0, 1)

ahhh jaaa. SÅ giver det jo mening, for så koordinatsøjlerne for f(a1)..f(an) jo bare lig sig selv. Men ER dette den eneste basis? Kunne man ikke lige så godt sige, at a2, a3, a4 var basen, og så var skalarproduktet koordinatsøjlen?

Og det ville jo i alt fald betyde, at man fik en anden matrix til at repræsentere f. 

Når du udregner billedvektoren af baserne skal du beregne diverse skalarprodukter. Disse beregninger skal foretages i det gamle koordinatsystem. Du får får for eks. f(a₁) = (a₁·a₁)a₂ +(a₁·a₂)a₃+(a₁·a₃)a₄ Førstekoordinaten i den nye basis er 0, da a₁ vektoren ikke fremkommer, Anden koordinaten er a₁·a₁ da det er koefficienten til a₂, 3-koordinaten er tilsvarende a₁·a₂

Men det er præcist det jeg ikke forstår. Vi har, at matricen, der repræsenterer en funktion f ved en ny base B, har koodinatsøjlerne for f(a1)...f(an) relativt til den gamle basis. Så den gamle basis er den naturlige basis, og den nye er a1..a4. Så jeg ville sige, at det betød at man fik koordinatsøjlerne (a1*a1)a2+..+(a1*a3)a4   - altså hvor man også har vektoren uden for skalarproduktet med. Men det har man ikke, og det forstår jeg ikke....
Edit: Nå nej, det skal jo være med hensyn til den nye basis. Sorry! 
Peter: Du er rigtig god til at hjælpe - ved du ikke, hvor der findes en god bog til lineær algebra? - måske noget du har brugt som studerende? Min bog er meget matematisk, hvilket er godt, hvis man er vant til at læse det, men jeg er ikke helt vant til det endnu :(

Tak for de pæne ord. Mine bøger og noter om algebra er også meget abstrakte og så gamle, at de næppe kan skaffes. På  http://www.ventus.dk  kan du hente flere matematiske bøger gratis. Jeg har selv hentet nogle derfra, og de er udmærkede.

til #8

Hvorfor bliver førstekoordinaten til den nye basis 0?

Jeg forstår ikke når du siger at a₁ ikke fremkommer.

Som jeg kan forstå at tråden her, så er 1. søjle til vores ønskede matrix A givet ved

f(a1) = (a1*a1)*a2 +(a1*a2)*a3 + (a1*a3)*a4

.. og 2. søjle er

f(a2) = (a2*a1)*a2 +(a2*a2)*a3 + (a2*a3)*a4

.. og 3. søjle er

f(a3) = etc etc

Hvis du har basisvektorerne e₁, e₂, e₃, e₄ kan en vilkørlig vektor skrives som v = x₁*e₁+x₂*e₂+x₃*e₃+x₄*e₄. hvor x₁, x₂, x₃, x₄ er reelle tal, som kaldes vektorens koordinater. I din opgave er e₁ = a₁, e₂ = a₂. e₃=a₃ og e₄=a₄.

Da f(a₁) = = (a₁*a₁)*a₂ +(a₁*a₂)*a₃ + (a₁*a₃)*a₄ = 0*a₁+(a₁*a₁)*a₂ +(a₁*a₂)*a₃ + (a₁*a₃)*a₄= 0*e₁+(a₁*a₁)*e₂ +(a₁*a₂)*e₃ + (a₁*a₃)*e₄ er koordinaterne som beskrevet i #8

Hvor får du fra at a₁ er 0? Er matrix A ikke en diagonal matrix, med 1 i diagonalerne, og hvad er den så tilsvarende for 2,3, og 4. udregning? Eller nu er jeg totalt i tvivl om hvordan matrix A ser ud!

#13

Prøv at se tråden https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1285121; der er matricen A for f med hensyn til basen (a₁,a₂,a₃,a₄) givet.