Stamfunktion 7)

Bestem en stamfunktion F(x) til f(x) og fastlæg den arbitrære konstant k, sledes, at F(2) = 3 .

Forklaring følger!

Først skal vi lige forstå hvad en stamfunktion er. Vi står med en funktion f(x) = 2x + 4 og skal finde en stamfunktion F til denne. En stamfunktion er den funktion, når differentieret giver den oprindelige funktion. Sådan med lidt andre ord F'(x) = f(x). Så hvis du er bekendt med at skulle differentiere ting, så kan man med lidt fingerfærdighed ofte gætte sig frem til hvad stamfunktion er - og skulle man ikke lige kunne gætte, ja så findes der naturligvis formler m.m. til hvordan man reelt gør. Det vigtige at huske er at når man differentiere så fjerner man konstant led, så når vi går den anden vej og integrere (dvs. finder stamfunktionen) så kommer der et konstantled k på forskriften. Ser man på det grafisk, betyder det at til en givet funktion, findes uendelig mange stamfunktioner, altså uendelig mange forskellige (forskudt*) grafer, da konstantledet k forsvinder igen hvis vi går tilbage til den oprindelige funktion.

Det første vi skal gøre er at finde stamfunktionen til f(x) = 2x + 4 og det gør vi ved at bruge de ting vi ved om stamfunktioner. Vi ved at x² differentieret bliver til 2x, så hvis vi skal finde et led der når det bliver differentieret bliver til 2x, kan vi jo gætte os til at det så må være x² fordi (x²)' = 2x. Det næste led vi har er et konstant led i den oprindelige funktion. Når man står med et konstant led, og skal finde en stamfunktion til det, skal man igen tænke på hvordan det er vi kommer frem til et konstant led hvis vi differentierede. Vi ved at hvis vi har et tal som f.eks. 4x ville det differentieret blive til 4, fordi x¹- ledet går væk. Igen nævner jeg ikke lige den konkrette differentierings formel for dette, fordi det er en forudsætning at du kan bruge differentierering for at kunne lave stamfunktioner. Anyhow, hvis vi så skal tænke os til et led der bliver til 4 kan vi gætte os frem til at det bliver 4x, fordi der netop gælder at (4x)' = 4. Det næste vi så skal huske er, at når vi laver en stamfunktion, så vil der altid komme det konstantled k på. Så vi har nu en omgang god gætteri fået at stamfunktionen til f(x) = 2x + 4 må være F(x)= x² + 4 + k. Her gør vi så hurtigt en prøve om det passer ud fra vores forudsætning at F ' (x) = f(x). Dvs. (F(x) =x² +4 +k)' = f(x) = 2x + 4. Hvilken må siges at være sandt.

Selvom man ofte hurtigt kan se hvilken stamfunktion man er på udkig efter, så findes der som sagt formler for hvordan man i første omgang kommer frem til det i første omgang, og jeg synes at du skal bruge dem det første stykke tid - helt indtil du ser f(x) = 2x og tænker "Ej! Skal jeg til at lave hele den udregning igen, når alle ved det er x²!!!" Så her kommer lige formlerne. Det første vi skal vide er beviset om at sammensatte funktioner kan beregnes hver for sig. Det betyder at du faktisk har en forskrift med to led, og at der ikke findes en direkte måde at tage en stamfunktion til "2x +4". Men at vi kan bevise, at vi gerne må dele det op, da der er tale om to led, så vi kan finde stamfunktionen til hhv. 2x og 4 hver for sig. 

Godt, helt forfra. Du står nu med funktionen f(x) = 2x +4 og skal finde en stamfunktion til den. Vi ved at der findes et bevis for at man gerne må dele den op i ledende og finde stamfunktionen til hver led, hvilken vi vil gøre nu. Den første vi skal se på er 2x hvilken egentlig er 2·x¹ som enhver anden x værdi beregnes den som følgende. 

xⁿ= (1 / (n+1) ) · xⁿ⁺¹

x¹= (1 / (1+1) ) · x¹⁺¹

x¹= (1 / 2 ) · x²

x¹= 0.5 x²

Det tager lidt tid lige at sætte sig fast i hvad der sker, men vi finder stamfunktionen til ledet x¹ og beholder to tallet. Det næste led vi havde var vores fire tal, som er en konstant så det integreres (stamfunktion) som følgende

k = k · x

4 = 4 · x

Til sidst skal vi huske at vi altid skal smide et konstantled på når du laver stamfunktioner, så efter en lang omgang tekst om ingen ting, kommer vi fremtil at for f(x) = 2x + 4 har stamfunktionen F(x) = 2 · 0.5x² + 4·x + k.Det er den lange udgave af hvordan du beregner noget, der i sidste ende vil tage dig fem sekunder at lave, når først man har fat i det! Nu mangler du kun at finde tangenten til stamfunktionen for det punkt du kender.

#2 (En mindste tastefejl) Stamfunktionen er

F(x)=x²+4x+k

#0 Når du da har, at (2,3), ved du, at F(2)=3, så

3=2²+4*2+k <=> 3=4+8+k <=> 3=12+k <=> k=-9,

så den særene løsning er

F(x)=x²+4x-9

Som en norsk matematiker udtrykte det: At differentiere er et håndværk, men det er en kunst at integrere. Da man må lære at kravle, før man kan gå, må man således være sikker i sit håndværk, før man kan sælge det som kunst. Det skulle vist også klart fremgå af #2's forklaring.

#3 Jeg er ikke sikker på at jeg forstår din rettelse. Hvis det drejer sig om at jeg har valgt at skrive udtrykket op som "2 · 0.5x² + 4·x + k" og ikke som "x² + 4x + k" så handler det for mig om hvordan man formidler et stof igennem undervisning. Det er med fuld bevisthed at jeg har valgt ikke at begynde at blande udregningen der gav den halve sammen med de to, netop for at man kan følge tallet igennem hele teksten uden at stille spørgsmålstegn ved hvor det pludselig kom fra. På et højere niveua er jeg enig i at det naturligvis skulle reduceres til bare x² men i undervisnings sammenhængen så synes jeg at det giver mere mening at beholde dem for sig selv. Desuden tror jeg vi taler for samme sag at 0.5 · 2 = 1 med mindre nogle har lyst til at modbevise det :)

Citat:

"Anyhow, hvis vi så skal tænke os til et led der bliver til 4 kan vi gætte os frem til at det bliver 4x, fordi der netop gælder at (4x)' = 4. Det næste vi så skal huske er, at når vi laver en stamfunktion, så vil der altid komme det konstantled k på. Så vi har nu en omgang god gætteri fået at stamfunktionen til f(x) = 2x + 4 må være F(x)= x² + 4 + k. Her gør vi så hurtigt en prøve om det passer ud fra vores forudsætning at F ' (x) = f(x). Dvs. (F(x) =x² +4 +k)' = f(x) = 2x + 4. Hvilken må siges at være sandt."

Hvilket må siges ikke at være sandt, idet du har glemt et x. Men det var, som jeg skrev, blot en mindre tastefejl, hvilket fremgår af dit yderligere indlæg. Ikke desto mindre er ovenstående og noget kategoriske udmelding forkert.