Rumgeometri

b) Det er ikke korrekt, hvis linien skal gå gennem A og C. Du har bestemt en parameterfremstilling for linien gennem A og E. Men hvis punktet E ligger på linien gennem A og C, er det muligvis korrekt.

c) Vinklen mellem to linier bestemmes som vinklen mellem de to liniers retningsvektorer. Da vi ikke ved, hvordan linie m er bestemt, kan vi ikke afgøre, om dit resultat er korrekt.

OK, m går gennem D og E, så dit udtryk ser korrekt ud.

Men hvorfor ikke skrive AE i stedet for den misvisende formulering (E-A) ?

b er rigtig. I c kan jeg ikke se hvad l og m er. Hvis det er linierne gennem henholdsvis A og E  og D og E er det rigtigt

#1

b) Jeg kan godt se hvad du mener. Jeg ved ikke helt om punktet E ligger på linien gennem A og C - for man kan kun se på tegningen, at det gør. Men for sikkerhedsskyld, har jeg rettet vektoren fra AE til AC - og der fik jeg det til at være:

(x,y,z) = (0;0;0) + t·AC = (5t ; 5t ; 2t)

c) Der står kun i opgaven, at linie m går gennem punkt D og E. Så man har ikke fået oplyst, hvordan linien m skal forestilles. Det, hvad jeg tror er, at jeg har anset linje m som en vektor fra punkt E til D, dvs ED. Kan man altså ikke beregne vinklen vha cosinusrelation (eller hvad kalder man det, hvis man bruger en formel til at finde vinklen mellem to vektorer?).

#3

Hvis linien m går gennem punkterne D og E, så fastlægger det jo linien, med vektoren DE som en retningsvektor. Vinklen mellem de to linier beregnes som vinklen mellem de to liniers retningsvektorer, dvs. som vinklen mellem vektorerne DE og AC . Da punktet E tilsyneladende er skæringspunktet mellem de to linier, er AE også en retningsvektor for linien l , da AC og AE er parallelle.

Formlen for vinklens beregning er netop formlen for cosinus til vinklen mellem to vektorer.

cos(v) = (DE • AC) / (|DE|·|AC|)

a) Hvilke af de to løsninger er så rigtige?

(x,y,z) = (0;0;0) + t·AC = (5t ; 5t ; 2t) ?

eller

(x,y,z) = (0;0;0) + t·AE = (4t ; 4t ; 1.6t) ?

Man kan se, at det er den første løsning, der er 1.25 gange større end den anden løsning - så det er ligegyldig, hvilke af dem skal bruges som resultat - vel?

b) Det ser ud til, løsningen af opgave b er helt identiske, dvs 19.84º.

#5

De er jo lige gode, for de parametriserer den samme linie, da vektorerne AE og AC er parallelle. Man skal dog være opmærksom på, at en given parameterværdi t , der ikke er nul, fremstiller to forskellige punkter på linien, afhængigt af hvilken parameterfremstilling, man benytter.

b) I formlen for beregning af vinklen mellem to vektorer a og b :

cos(v) = (a • b) / (|a||b|)

indgår jo kun de normerede vektorer a/|a| og b/|b| , hvorfor vinklen mellem de to vektorer ikke afhænger af vektorernes længder, men kun af deres retninger.

Mange tak for jeres hjælp.

Min mat lærer sagde, at vinklen mellem de to vektorer var korrekt udregnet, men det var ikke den resultat man skulle svare på. Svaret var, 160.162º

Jeg har undret mig over, hvordan i alverden kunne man vide, hvilke af de to vinkler man skulle beregne, når der kun står i opgaven "Bestem vinklen mellem linie m og linie l" ?

Min lærer sagde, at man skulle kigge på figuren, og beregne dens vinkel mellem de to vektorer mod uret fra ens akse. Dvs, vektor ED og vektor EC. Kender I sådan en regel til det? Kan I venligst uddybe mig det?

 Forresten, jeg har også et andet spørgsmål; hvis man ønsker at beregne vinklen mellem de to vektorer, skal man regne sådan her ud; cos^-1(ED•EC/|ED||EC|) eller cos^-1(EC•ED/|EC||ED|) - selvom de har samme resultat, har min lærer sagt, at det kun er én korrekt måde at vise mellemregninger vha "retningen mod uret" Ved ikke hvordan jeg skal forstå denne metode...

#8

Din lærers forklaring giver ikke meget mening for mig. En mere præcis opgaveformulering ville være:

"Bestem den spidse (eller stumpe) vinkel mellem de to linier"

Hvis du sætter parenteser ordentligt, er der ingen forskel mellem

cos^-1(ED•EC/(|ED||EC|)) og cos^-1(EC•ED/(|EC||ED|))

Skalarproduktet er kommutativt: a•b = b•a

Der skal parentes om de to størrelser, hvormed der divideres.

Opgaveformuleringen står præcis "Bestem vinklen mellem linie m og linie l" i opgavesættet... Men ellers tak for hjælpen.

#10

Derfor mener jeg bestemt, at et resultat bestemt som vinklen mellem de to liniers retningsvektorer er helt fyldestgørende.