Matematik
Komplekse tal - reciprokt tal
Hej jeg er ved at skrive om komplekse tal. I den sammenhæng skal jeg bevise at komplekse tal danner et tallegeme. Jeg har bevist alle aksiomer, undtagen den med reciprokt tal.
Jeg har indtilvidere:
(a+bi)*(x+xi)=1
(a*x-a*xi)+(bi*x-bi*xi)=1
Ligning 1: (a*x-a*xi)=1
Ligning 2: (bi*x-bi*xi)=0
Jeg kan bare ikke få dette til at gå op, fordi det ender med at x=xi og det er vel ikke meningen :S I nogle bøger står der at man skal gange de to ligninger med hhv a og bi i mit tilfælde. Jeg er ikke sikker på om jeg gør det rigtigt. De fleste bruger også talper til at illustrer de komplekse tal, det gør jeg ikke, og har hellerikke gjordt i resten af beviserne, så det ville se lidt underligt ud hvis jeg pludselig skiftede.
Hvordan skal jeg gøre dette så det bliver korrekt?
Mange tak for hjælpen :)
Svar #1
09. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
Gang ud og benyt regnereglerne for regning med i (den imaginære enhed):
(a + b·i) · (c + d·i) = 1
(ac -bd) + (bc + ad)·i = 1 + 0·i , dvs
ac -bd = 1 og
bc + ad = 0 ,
og løs så ligningssystemet i c og d.
Svar #2
10. februar 2012 af Tobber16 (Slettet)
Kan du forklare hvordan du kommer fra:
(a + b·i) · (c + d·i) = 1
til
(ac -bd) + (bc + ad)·i = 1 + 0·i
? :)
Svar #3
10. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#2
Man ganger de to toleddede størrelser med hinanden:
(a + b·i) · (c + d·i) = a·c + a·d·i + b·i·c + b·d·i2
= (a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i = 1 = 1 + 0·i ,
hvor man så afkoder realdel og imaginærdel særskilt.
Svar #5
10. februar 2012 af Tobber16 (Slettet)
(a+bi)*(x1+x2i)=1+0i
(a*x1-a*x2i)+(bi*x1-b*x2i^2)
(a*x1-b*x2)+(b*x1+a*x2)*i=1+0i
Herved kan vi for at beregne det reciprokke tal (x1+x2) opstille to ligninger med to ubekendte.
(a*x1-b*x2)=1
(b*x1+a*x2)=0
Nu skal vi bare have isoleret x og xi, jeg tager den letteste først.
(b*x1+a*x2=0↔b*x1=-a*x2↔x1= -a*x2/-b
Nu sætter jeg udtrykket for x ind i den første ligning:
a*(-a*x2/-b)-a*x2=1↔x2= b/a(a-b)
Nu har jeg prøvet at beregne x1 og x2, ser det rigtigt ud? :)
Svar #6
10. februar 2012 af Andersen11 (Slettet)
#5
Nej, det ser ikke rigtigt ud. Linie 2 i mellemregningerne er forkert, selv om ligningssystemet, der kommer ud af det, er korrekt.
Man skal bestemme x1 + x2·i, så at
(a + b·i)·(x1 + x2·i) = 1 , dvs
x1 + x2·i = 1/(a + b·i) , forlæng nu med nævnerens kompleks konjugerede
= (a - b·i) / (a2 + b2) ,
hvoraf man så aflæser
x1 = a / (a2 + b2) , x2 = -b / (a2 + b2)
Skriv et svar til: Komplekse tal - reciprokt tal
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.