Spørgsmål til aksiom 6

1. Det betyder at  for ∀x ∈ R\{0}  ligningen ax=1 har en unik løsning, namentlig x= 1/a den reciproke af a

2. Multiplikation in det legeme R har en (unikt!!) neutralt element betyder : ∃e∈R med egenskab at ∀a∈R : ea=a, elementet e også skrives som 1. Det betyder at der er elementet (1) der "gør ingenting" som multiplikator, er neutralt over for multiplikation.

3. Hvis alle elementer i R (undtagen 0) har en reciproke, så har også -1 en reciproke : (-1)*y=1 har løsning y=1/(-1)=-1, så (-1)*(-1) = 1.

Jeg synes det er bedre at kigge på addition og multiplikation sammen

Et legeme R er karakteriseret af to "operationer" : multiplikation og addition.

1) Det neutrale element af additionen er 0 : ∀a∈R : a+0=0

2) Der eksisterer for alle a ∈ R præcis et element x, at a+x = 0, x kaldes "den modsætte af a" og skrives -a

3) Vi har nu a + (-a) = (-a) + a = 0, dvs den modsætte af (-a) er a

4) For alle x ∈ R : (-1)*a = -a, specielt for -1 gælder : (-1)*(-1) = -(-1) = 1

Axiomatik er meget svært og præcist

Mange tak for dit svar!

Jeg står dog lidt af i nr. 4.  For mig at se er det egentligt bare hvor du siger: sådan er det bare? For -(-1) er vel det samme som at sige - gange - 1 ?

:)

Nej, det siger :  den modsætte af -1 er 1.

Forvirring opstår fordi vi bruger  et minus tegn i tre forskellige betydninger:

1. In a-b betyder det minus-tegn en binære operation som vi kender under navnet substraktion

2. In -3 betyder det minus tegn bare at -3 er en negativt tal, 3 "under nul"

3. In -a betyder det minus-tegn "den modsætte af a" (a selv kan være negativt, så -a er positivt)

Hvem siger at matematikere altid er så præcise? ;-) 

Og hvis du siger at -(-1) er det samme som ( -1)*(-1), bliver forvirringen endnu større :-(

Hej Figes,

Du er ikke helt tilfreds (og jeg har været ikke helt overbevisende), derfor nu et "hvad ellers"-argument.

Vi har i vores regnestykker nogle nydelige og nyttige regler, såsom (alle tal er "hele tal"):

1) for et tal  a er der præcist  een mulighed: enten a>0, eller a=0 eller a>0

2) for alle par a, b  eksisterer præcist et tal c som er produktet of a og b : ab=c

3) Hvis ab=ac ⇔ a(b-c)=0 er enten a=0 eller b=c

(og vi har mange flere regler.)

Vi er enige om at 2*3=6 og

-2*3=-6 (det kan ikke være 6 fordi så skulle 2*3=-2*3 (regel 3) : enten 3=0 eller 2=-2 og begge muligheder er ikke særlig tiltrækkende.

Vi begge synes også at -3*2 = -6 (på grund af samme regel 3 kan det ikke være 6)

Bliver (-2)*(-3) = p

a) p=-6, hvis (-2)*3 = -6 og (-2)*(-3)=-6 å er enten (-2)=0 eller 3=-(3), :-C  (fy !!)

b) p≠6 og p≠-6, så kommer vi i klemme med regel 1), hvad er det så for et tal?

c) Bliver "kun" (-2)*(-3)=6

Og selvfølgelig har kloge matematikere definieret et klogt aksiomasystem, hvori det heller ikke kan være anderledes

Andet argument (ikke væsentligt forskellige fra det første):

Vi er enige om at 6/3 = 2 fordi  2*3 = 6

6/(-3)=2 ? hvis det, så skulle være 2*(-3)=6 og 2*(-3)=2*3 enten er 2=0 eller 3=-3

Så bliver kun 6/(-3)=(-2) og (-2)*(-3)=6

Hjælper det en lille smule?

Endnu engang tak for dit svar. VIl sidde og tænke lidt over det og vende tilbage, når jeg har noget fornuftigt at sætte spørgsmålstegn ved (der er med garanti noget, som ikke virker logisk for mig).

Vh