2 grafer, areal M

Først bestemmer du skæringspunkterne mellem graferne
(for at finde nedre og øvre grænse for det integrale, der er
lig med arealet af den afgrænsede punktmængde)

f(x) = g(x)

Dernæst bestemmes integralet

hvor a og b er x-koordinaterne til skæringspunkterne

a) Løs ligningen f(x) = g(x) . Kald rødderne a og b, med a < b. Arealet af punktmængden M er da

A(M) = _a∫^b (f(x) - g(x)) dx

b) Find maksimum for funktionen h(x) = f(x) - g(x) på intervallet [a;b] .

#1 -- Der kræves parentes omkring funktionerne i integranden (f(x) - g(x)) .

#2 tak for det (det smutter af og til i skyndingen)

Fortsat god aften :-)

#1+2 lidt pinligt, men kan ikke lige huske hvordan skæringerne bestemmes, og underligt det ikke står i min bog :/

Sæt de to forskrifter lig med hinanden og løs mht. x

f(x) = g(x)
0,01x³ + 0,03x² +0,28x = 0,05x² - 0,35x

#4

Det blev forklaret både i #1 og #2, at man skal løse ligningen f(x) = g(x). Herved finder man x-koordinaterne til grafernes skæringspunkter, og det er x-koordinaterne, man skal benytte som grænserne i integralet.

Benyt nulreglen til at løse den fremkomne ligning.

#6 Lagde jeg slet ikke mærke til, men kan godt se det, nu når du nævner det.

forstår det ikke helt får:

x=-6,64 v x=-0,779 v x=5,42

Burde jeg ikke få to værdier som er større end 0, hvilket tegningen også illustrerer.

#8

Ligningen er

x³ + 2x² -63x = 0 , der via nulreglen splittes til

x = 0 ∨ x² + 2x -63 = 0 , eller

x = 0 ∨ x = (-2 ± √256)/2 , eller

x = 0 ∨ x = 7 ∨ x = -9 .

Tegningen viser klart, at den ene rod er x = 0, og at der kun er een rod, der er positiv.

#9 Hvordan er det du får den ligning, for det kan jeg simpelthen ikke se hvordan jeg skal få.

#10

Man har

       f(x) = -0,01x³ +0,03x² +0,28x     og     g(x) = 0,05x² -0,35x ,

så ligningen f(x) = g(x) bliver da

      -0,01x³ +0,03x² +0,28x = 0,05x² -0,35x ,

eller, ved at gange med 100 og reducere

      x³ +2x² -63x = 0,

eller

      x·(x+9)·(x-7) = 0

#10 havde glemt et x efter 0,28 det må du virkelig undskylde.

Kan godt se det nu. Og grænserne hedder så, som du selv har nævnt 0 og 7.

Hvordan ved vi at det lige præcis er integralet : A(M) = _a∫^b (f(x) - g(x)) dx vi skal have?

A(M) = _a∫^b (f(x) - g(x)) dx = A(M) = ₀∫⁷ (f(x) - g(x)) dx = 7,15

kan arealet passe ?

#12

Det fremgår jo, at i intervallet [0;7] er f(x) ≥ g(x) , så man skal beregne

A(M) = ₀∫⁷ (f(x) - g(x)) dx = 0,01 · ₀∫⁷ (-x³ -2x² + 63x) dx

         = 0,01 · [-x⁴/4 -2x³/3 +63x²/2]⁷₀

         = 0,01 · (-7⁴/4 -(2/3)·7³ + (63/2)·7²)

         = 0,49 · ((63/2) - (14/3) -(49/4))

         = 0,49 · (63·6 -56 -147) / 12

         = 0,49 · 175 / 12

         = 343 / 48

         ≈ 7,145833

#13 

Kan bare ikke se hvordan jeg skal løse b), når du skriver "Find maksimum for funktionen h(x) = f(x) - g(x) på intervallet [a;b]"

Hvordan vil du lige have man skal gøre det? altså ved hvordan man finder et toppunkt på en graf, men her beregnes arealet også under x-aksen

#14

I spm. b) er der ikke tale om at finde et areal, men om at finde den største lodrette afstand mellem de to funktioneres grafer. Som nævnt i #2 drejer det sig om at finde maksimum for funktionen

h(x) = f(x) - g(x) = 0,01·(-x³ -2x² + 63x)

på intervallet [0;7] . Dette gøres ved at løse ligningen h'(x) = 0 i intervallet [0;7] .

kan ikke rigtig få det til at gå op.

Har sagt f(x)-g(x), differentieret dette og fået: 0,03x²-0,04x+0,63 (gjort på grafregner)

Dog ved jeg ikke hvorledes man tager intervallet med ind i dette stykke.

#16

Det drejer sig om at finde maksimum for funktionen

h(x) = f(x) - g(x) = 0,01·(-x³ -2x² + 63x)

på intervallet [0;7] . Først skal man differentiere rigtigt:

h'(x) = 0.01·(-3x² -4x + 63)

og så løse ligningen

h'(x) = 0 ⇒ -3x² -4x + 63 = 0 ⇒ x² + (4/3)x -21 = 0 ⇒ x = (-(4/3) ±(1/3)·√772)/2 ⇒ x = -5,29748 ∨ x = 3,964148

Kun den positive rod ligger i intervallet [0;7].

Da h(3,964148) = 1,560179, og da h(0) = h(7) = 0 , ser vi, at den maksimale lodrette afstand mellem de to funktioners grafer er

h(3,964148) = 1,560179

#17 Har forstået det hele, dog ved jeg ikke hvad du mener med da h(0) = h(7) = 0 ,

At h(0) = 0 er det samme som h(7) = 0 ??

#18

Ja, det er det, der menes med en dobbeltligning. Når man skal undersøge en funktions variation på et afsluttet interval, søger man efter lokale ekstrema i intervallets indre, og så undersøger man intervallets endepunkter særskilt.