Matematik

Differentiere

20. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Har nogle opgaver hvor jeg skal redegøre for at en funktion er stamfunktion til en anden. Det gør jeg ved at differentiere stamfunktionen.
Problemet er dog bare at vi skal kunne det i hovdet vha. regneregler for differention, som jeg ikke er vant til.

g(x)=1/2 ln((e^2x)-1)-x , x>0

F(x)=x+1-(1/x-1)-2ln(x+1) , x>-1

Hvordan differentiere man disse to? Har resultatet så har mere brug for at vide hvordan.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. august 2005 af Sentinox (Slettet)

Jeg antager at du skal vise, at F(x) er stamfunktion til g(x)?

I givet fald:

start med at omskrive F(x):

F(x)=x+1-(1/x-1)-2ln(x+1) <=>
F(x) = x+2-1/x-2*ln(x+1)

Nu er den en hel del nemmere at gå til...

Du skal bruge forskellige regneregler for at differentiere, så del op i led:

x differentieret, giver: 1
2 differentieret, giver: 0
-1/x differentieret giver: 1/x^2
-2*ln(x+1) er en sammensat funktion, regnereglen hedder:
(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x), hvor f(x) er 2*ln(x), og g(x) er x+1...
da fås ved differentation: 2*(1/(x+1)*1) = 2/(x+1)

du har nu sammenfattet:
F'(x) = 1 + 0+1/x^2+2/(x+1) =>
F'(x) = 1+1/x^2+2/(x+1)

UPS... Når desværre ikke mere, kigger på det senere... håber du kan bruge det til noget indtil videre...

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. august 2005 af Epsilon (Slettet)

Mads:

At dømme ud fra de givne funktioner lader det til, at tvivlen går på differentiation af sammensatte funktioner. Eksempelvis

g(x) = 1/2*ln[e^(2x)-1] - x, x > 0

Problemet her er at få differentieret G(x) = ln[e^(2x)-1]', som er dobbelt sammensat, idet vi sætter

f(x) = ln(x)
h(x) = e^(x) - 1
k(x) = 2x

Dermed er G(x) = f(h(k(x))), og alle de indgående funktioner er tydeligvis differentiable for x > 0 (det bør være velkendt).

Regnereglen for differentiation af en sammensat funktion giver, at:

G'(x) = f'(h(k(x))*(h(k(x)))'

og ifølge selvsamme regneregel har vi

(h(k(x)))' = h'(k(x))*k'(x)

så

G'(x) = f'(h(k(x))*h'(k(x))*k'(x)

Anvend dette og se, om ikke du kan differentiere g korrekt, dvs.

g'(x) = 1/2*G'(x) - 1

Den anden funktion (F) indeholder blot en enkelt sammensat funktion og burde således ikke volde problemer.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Se bort fra mærket (') efter ln[e^(2x)-1] (linje 6).

//Singularity

Svar #4
21. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Undskyld, så først dit indlæg da jeg var på vej ud af døren.

Jeg synes dog stadig der er problemer. Jeg er med på reglen for sammensatte funktioner nu, men synes det giver flere problemer end at det hjælper.
Jeg får G'(x)=(1/(e^(2x)-1)) * e^(2x)-1 * 2

g'(x)=(1/(e^(2x)-1)) ifølge bogen og er det resultat vi skal få.

Selvom der kun er en sammensat funktion i den næste, kan jeg stadig ikke løse den. Men nok bedre der først lige bliver styr på den første opgave :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Det er næsten korrekt; du skal blot fjerne -1 i den anden faktor. Vi har jo med

h(x) = e^(x) - 1
k(x) = 2x

at h'(x) = e^(x) og k'(x) = 2, så

h'(k(x))*k'(x) =
e^(2x)*2 = 2e^(2x)

Regner du korrekt herfra, så får du det rigtige resultat.

//Singularity

Svar #6
21. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Vi har så G'(x)=(2e^(2x)/(e^(2x)-1))

g'(x)=(2e^(2x)/(e^(2x)-1))-1

Ja et eller andet må være galt her når det skal give g'(x)=(1/(e^(2x)-1)). Har faktoren 1/2 ingen betydning?

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: Sandelig har den det. Ifølge #2 har vi jo, at

g'(x) = 1/2*G'(x) - 1

Indsæt G'(x) = (2e^(2x)/(e^(2x)-1)) og regn lidt på det. Det korrekte resultat er det, som er nævnt i din bog.

//Singularity

Svar #8
21. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Ahh got it now :). Synes dog det var lidt svært at komme frem til.

Den anden giver dog også problemer. Altså den sammensatte funktion regner jeg på denne måde.

f(x) = ln(x)
h(x) = x+1

f'(h(x))*h'(x)

"x+1-(1/x-1)" men dette stykke giver problemer. Jeg ville sige 2-(1/0), men det går jo ikke. Der er altså noget jeg har misforstået :/

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#8: Det første er korrekt. Men i de sidste par linjer står jeg af. Hvad mener du?

Vi skal differentiere funktionen

F(x) = x+1-(1/x-1)-2*ln(x+1) , x > -1

altså

F(x) = x + 2 - 1/x - 2*ln(x+1), x > -1

ln(x+1) har du fod på at differentiere, og de øvrige led differentieres blot hver for sig som sædvanlig.

//Singularity

Svar #10
21. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Det er de andre led jeg ikke kan differentiere. Kan heller ikke lige se hvordan du kan få F(x) til det andet du skriver, som ellers ser let ud at differentiere.

Angående mine sidste linjer:
x differentieret = 1

1+1-(1/1-1) = ikke godt.

Kan godt se at 1/x giver -1/x^2, men i 1/x-1 går 1-tallet ind og forstyrrer mig og jeg ved så ikke hvordan den skal håndteres.

Brugbart svar (0)

Svar #11
21. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Du roder da gevaldigt rundt i regneoperationernes præcedens. Division er højere rangeret end subtraktion! Så

1/1-1 = 0

Der står ikke 1/(1-1), som du vist tror.

Omskrivningen af F står også at læse i Sentinox' indlæg (#1). Vi har for ethvert x > -1, at

F(x) =
x + 1 - (1/x-1) - 2*ln(x+1) =
x + 1 - 1/x + 1 - 2*ln(x+1) =
x + 2 - 1/x - 2*ln(x+1)

Den kan du vel godt differentiere, ikke?

//Singularity

Svar #12
22. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Jeg undskylder for min tåbelighed :) Jeg har skrevet opgaven forkert op, men har alligevel fundet ud af det nu.

Men har en ny en:
f(x)=2x+4
Bestem den stamfunktion til f, hvis graf har linjen med ligningen y=3 som tangent.
Samme spørgsmål med y=x+3.

Altså stamfunktionen er F(x)=x^2+4x+k.
Kan se vha. af graf at k=7 i den første, men hvordan regner man det ud?
Forstillede mig at jeg skulle sætte to ligninger op mod hinanden, hvor der kun er en løsning, men kan ikke lige se hvad.

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Det er korrekt, at en vilkårlig stamfunktion til f er

F_k(x) = x^2 + 4x + k

I begge spørgsmål kan du udmærket gøre, som du selv foreslår til sidst; sætte funktionsudtrykket for F_k lig 3 hhv. x + 3 og bestemme k, når hver ligning skal have præcis én løsning.

I betragning af hvad opgaven handler om, kunne et oplagt alternativ være at udnytte differentialregning til at bestemme k.

Vink: tangentligningen

//Singularity

Svar #14
23. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Hvordan kan du bare sætte de op mod hinanden? Der er jo to ubekendte, x og k.

Jeg kom lige i tanke om at man kunne finde x, ved at løse f=0 og f=1 for hver af opgaverne og derved sætte det ind for x, og så løse k. Det er måske det du mener til sidst?

Brugbart svar (0)

Svar #15
23. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#14: Prøv at ihukomme, hvad der gælder om diskriminanten, hvis en andengradsligning skal have præcis én løsning.
Denne metode er i øvrigt lidt hurtigere end at benytte differentialregning, hvilket kunne være argumentet for at vælge den. Men metodens anvendelighed er begrænset til andengradspolynomier, og såfremt stamfunktionen havde været mere kompliceret end et sådant, ville "differentialregningsmetoden" oftest være at foretrække.

Ja, det er lige præcis, hvad jeg mener til sidst. Tangentligningen

y = F_k(x0) + f(x0)*(x-x0)

udsiger i let omskrevet form, at

y = f(x0)*x + (F_k(x0) - x0*f(x0)) (*)

hvor x0, F_k(x0) og f(x0) er konstanter.
I hvert af de to tilfælde får man netop udleveret en tangent på formen (*);

y = 3 hhv. y = x + 3

hvilket følgelig leder til løsning af ligningerne

f(x0) = 0
f(x0) = 1
F_k(x0) - x0*f(x0) = 3

som entydigt fastlægger x0 samt F_k(x0) og dermed, i sidste ende, k.

//Singularity

Svar #16
23. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Du må altså undskylde hvis du føler jeg hænger på dig, så skal jeg nok stoppe med at spørge konstant.

Jeg gjorde det nu på en lidt anderledes måde ved trin for trin at komme frem til den bestemte stamfunktion.(http://img284.imageshack.us/img284/9199/mat010rv.jpg ) Det bliver dog mere kompliceret når tangenterne har en hældning. Derfor er jeg intresseret hvis der er en lettere metode.
Jeg er nemlig ikke helt sikker på at jeg forstår din metode. Så prøver lige med ny opgave:

f(x) = 1 - 2*cos(x) | x>-pi og x
Bestemmelse af de to stamfunktioner til f, hvis grafer har førsteaksen som tangent.

F(x) = x - 2*sin(x)+k

Jeg forstår så ikke hvad x0 skal være når man indsætter i tangentligningen. Det er jo egentlig x man skal finde.

Angående den anden måde: Altså d skal være d=0, men kan ikke overskue det hvordan det skal sættes op. Vil du så til at finde a, b og c?

Håber du forstår og at det ikke er for forvirrende :)

Brugbart svar (0)

Svar #17
24. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#16: Lad mig udtrykke det så klart og utvetydigt som muligt.

Stamfunktionerne indiceres med k således;

F_k(x) = x - 2*sin(x) + k

En ligning for tangenten til grafen for F_k i et vilkårligt punkt (x0,F_k(x0)), hvor x0 E ]-pi;pi[, er

y = F_k(x0) + f(x0)*(x-x0)

hvor f(x0) = F_k'(x0). Tangentligningen bør forekomme velkendt fra differentialregningen.

Hvis førsteaksen (linjen y = 0) skal være tangent, må vi kræve, at

f(x0) = 0 (*)
F(x0) = y = 0 (**)

Førstnævnte, (*);

f(x0) = 0 <=> 1 - 2cos(x0) = 0 <=> cos(x0) = 1/2

Dette er en trigonometrisk grundligning, og eftersom x0 E ]-pi;pi[, jf. indlæg #16, ved vi, at der er præcis to løsninger. Disse løsninger er så x-koordinaterne til røringspunkterne.

Sidstnævnte, (**);

Med kendskab til x0 samt, at F(x0) = 0 i røringspunktet, løser vi for hver af de to værdier af x0 ligningen

x0 - 2*sin(x0) + k = 0

med hensyn til k. Dette fastlægger entydigt de to stamfunktioner, hvis grafer har førsteaksen som tangent.
---------------

Angående den anden måde:
Præcis; diskriminanten skal være nul. Vi kender værdierne af koefficienterne a,b og c. I tilfældet med tangenten y = 3 løses netop ligningen

x^2 + 4x + k = 3

altså

x^2 + 4x + k-3 = 0

Koefficienter: a = 1, b = 4, c = k-3

Beregn selv diskriminanten og løs den fremkomne ligning med hensyn til k. Den anden andengradsligning;

x^2 + 4x + k = x + 3

svarende til tangenten y = x + 3 håndteres på helt tilsvarende vis.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #18
24. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#17: 'F(x0)' skal retteligt være 'F_k(x0)'.

//Singularity

Svar #19
24. august 2005 af Mads123 (Slettet)

Tak for forklaring. Virkelig en hjælp.
Men er der ikke noget galt med andengradsligning måden?

(4^2)-4*1*k-3=0 giver at k=3.25, men det skal give k=7. Er der noget jeg har misforstået igen?

Brugbart svar (0)

Svar #20
24. august 2005 af Epsilon (Slettet)

#19: Godt at høre.

Nej, metoden med andengradsligninger fejler intet. Du glemmer ganske enkelt, at koefficienten c = k-3 er én faktor! Således skal "diskriminantligningen" retteligt være

d = 4^2 - 4*1*(k-3) = 0

hvilket giver k = 7. Regn selv efter.

Tilsvarende kontrol af k-værdien bør du naturligvis foretage i tilfældet, hvor linjen med ligning y = x + 3 er tangent.

//Singularity

Forrige 1 2 Næste

Der er 22 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.