Cirkel og linje Mat A

x²-6x+y²+4y-3=0

x + 2y= 8 ⇒ x=8-2y     indsættes i den anden ligning

løs ligningssystemet ovenfor, hvis der er en læsning er linien tangent til cirklen

Du kan isolere x i linjens ligning og sætte det ind i cirklens ligning. Det giver en andengradsligning i y. Hvis diskriminanten for denne andengradsligning er 0, vil der være netop 1 punkt der er fælles for linjen og cirklen, så linjen vil være tangent.

Alternativt kan du finde cirklens centrum og radius, Dernæst kan du finde afstand fra centrum til linjen. Er denne lig med radius er den tangent.

Tak for svarene .. men skal jeg indsætte x=8-2y på y's plads i cirklens ligning ? eller på x's plads? 

Du skal indsætte det på x's plads

Jeg prøver:

(8-2y)²-6 * 8-2y+y²+4y-3=0

64 + 4y² + 2 * 8 - 2y - 48 - 2y + y² + 4y - 3 = 0

Det ser bare ikke rigtigt ud i mine øjne :( ? (jeg ved godt jeg ikke er færdig, men det her ser forkert ud synes jeg)

Hvad gør jeg forkert?

Den første ligning skal være

(8-2y)²-6 *( 8-2y)+y²+4y-3=0 Du har glemt nogle parenteser.

Den  næste er meget forkert. Du skal bruge reglen om kvadratet på en toleddet størrelse på den første parentes. I den næste skal du gange de 6 ind i parentesen. Hvis du er usikker så tag en ting af gangen.

Som # 2 i de sidste linjer:

C  =  {(x ; y) | (x - 3)² + (y + 2)² = 4² }   Cirkel med centrum (3 ; - 2) og radius 4

λ   =  {(x ; y) | x + 2y - 8 = 0 }      og på normalform    |x + 2y - 8| / √ (1² + 2²)

Det ses straks, at   |3 + 2·(- 2) - 8| / √ (1² + 2²)  ≠ 4 , hvorfor λ ikke kan være tangent til C.

Da  9 / √ 5   >  4 ,    skærer λ heller ikke C.

# 7 fortsat           En fuldstændig besvarelse er da:

                           {(x ; y) | (x - 3)² + (y + 2)² = 4² } ∩ {(x ; y) | x + 2y - 8 = 0 }  =  ∅

Cirkel:
                       x² +  y² - 6x + 4y - 3 = 0

          C:         x² +  y² + 2(-3)·x + 2·2·y + (-3) = 0

 med
             centrum        C(3,-2)     og radius      r = √(3²+(-2)²-(-3)) = 4

            L: x + 2y - 8 = 0

hvis L er tangent til cirklen
er
              dist(L,C((3,-2)) = | 3 + 2·(-2) - 8 | / √(1+2²) = r = 4

hvilket undersøges:

                                         | 3 - 4 - 8 | / √(1+2²)

                                             9 / √(5) ≠ r

hvorfor
   linjen

              L:  x + 2y = 8

ikke er tangent til
   cirklen

              C:  x² +  y² - 6x + 4y - 3 = 0

Jeg føler mig ikke sikker i at finde cirkelens centrum og radius. 

Vil egentlig gerne vide hvad ligningen : (8-2y)²-6 *( 8-2y)+y²+4y-3=0 giver .. forklar venligst hvad i gør

skæring mellem

    cirklen
                  C:       x² - 6x + y² + 4y - 3 = 0
                 
og
   linjen
                  L:        x + 2y = 8 ⇔ x = (8-2y)

kræver
                            x² - 6x + y² + 4y - 3 = 0   og   x = (8-2y)
dvs
                            (8-2y)² - 6·(8-2y) + y² + 4y - 3 = 0

                             5y² - 16y + 13 = 0

                                       d = (-16)² - 4·5·13 < 0
hvorfor
cirklen
                  C:       x² - 6x + y² + 4y - 3 = 0
                 
og
   linjen
                  L:        x + 2y = 8
 

     ikke har nogen fælles punkter

Kan ikke helt se hvordan du får : 5y² - 16y + 13 = 0 ud fra ligningen.

(8-2y)² - 6·(8-2y) + y² + 4y - 3 = 0                           <=>

(8-2y) · (8-2y) - 6 · (8-2y) + y² + 4y - 3 = 0             <=>

64 - 16y - 16y + 4y - 48 + 12y + y² + 4y - 3 = 0     <=>

får det til y² - 12y + 19 ?

Frustrerende .. 

(8-2y)² - 6·(8-2y) + y² + 4y - 3 = 0                           <=>

(8-2y) · (8-2y) - 6 · (8-2y) + y² + 4y - 3 = 0             <=>

64 - 16y - 16y + 4y² - 48 + 12y + y² + 4y - 3 = 0     <=>

hvor jeg burde få
                                       5y² - 16y + 13 = 0