Matematik
Differentiabilitet og lineære funktioner
Jeg skal til prøveksamen i matematik A i morgen, og har lige et spørgsmål.
Jeg skal vise, at en lineær funktion f(x) = ax+b er differentiabel i ethvert x0 og differentialkvotienten er f'(x0) = a.
Jeg kan sagtens se og forklare, at alle sekanter er sammenfattende med grafen for f, og derfor vil sekanternes hældningskoefficient være lig med hældningskoefficienten for f, hvilket er a.
Men efterfølgende har jeg i mine noter skrevet "Denne konstant (a) er sin egen grænseværdi for x --> 0 og derfor er f'(x0) = a". Men jeg kan ikke helt forstå hvad jeg har skrevet.
Jeg forstår ikke hvordan a kan være sin egen grænseværdi. Er der nogen, der kan og vil forklare mig det?
Svar #1
23. april 2012 af Andersen11 (Slettet)
Man skal benytte tretrinsreglen for at vise, at en lineær funktion er differentiabel i et punkt x0 .
Man opstiller først differenskvotienten
( f(x0+h) - f(x0) ) / h = ( a·(x0+h) + b - (a·x0 + b)) / h = (a·h) / h = a
Differenskvotienten afhænger slet ikke af tilvæksten h , Den er konstant lig med a for ethvert h ≠ 0 , hvorfor vi kan sige, at differenskvotienten har grænseværdien a for h gående mod 0.
Svar #2
23. april 2012 af Singlefyren (Slettet)
Det er virkeligt indlysende.
Tegn en ret linje. Du vil se at tangenten og grafen er sammenfaldende. Tangenthældningen = f ' (x). = Δy/Δx =ax/x = a.
Svar #3
23. april 2012 af kiskiss (Slettet)
Men hvis jeg kun skal lave et geometrisk bevis? Hvordan forklarer jeg det så?
Svar #4
23. april 2012 af kiskiss (Slettet)
#2 Men betyder det så ikke, at du med det samme går ud fra at differenskvotienten og differentialekvotienten er ens? For det er vel sekantens hældning, der er dy/dx?
Svar #5
23. april 2012 af Andersen11 (Slettet)
#4
Differentialkvotienten er grænseværdien for differenskvotienten (hvis grænseværdien eksisterer). For den lineære funktion falder enhver sekant sammen med selve funktionens graf, hvorfor sekanten har en grænsestilling, nemlig funktionens graf selv. Sekantens grænsestilling kaldes tangenten.
Skriv et svar til: Differentiabilitet og lineære funktioner
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.