Matematik
Finde 2 tangentplaner ud fra to fælles punkter.
Hej,
Jeg skal svare på følgende spørgsmål i en matematikopgave, som jeg har ret svært ved at knække:
I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i O(0,0,0) og punktet P(3,0,4) ligger på kuglen.
I første delspørgsmål skal man finde en ligning for kuglen, som er x2 + y2 + z2 = 25
I andet delspørgsmål skal man finde en ligning for kuglens tangentplan i punktet P, som jeg har beregnet til at være til at være følgende: 3x + 4z = 25
Det sidste spørgsmål er det, jeg har svært ved:
Der findes to planer, der tangerer kuglen og som begge indeholder punkterne A(0,10,0) og B(0,0,10).
Man skal bestemme koordinatsættet for hver af de to planer til det punkt, hvori planen rører kuglen.
Jeg håber, nogle kan hjælpe mig :)
Svar #1
15. maj 2012 af Andersen11 (Slettet)
Hvis vi kalder et sådant røringspunkt for Q, skal Q ligge på kuglen, og der skal gælde både at vektoren OQ er en normalvektor til planen, og at vektoren QA×QB er en normalvektor til den samme plan, dvs, der skal gælde, at vektoren OQ×(QA×QB) skal være lig med nulvektoren 0 .
Punkterne O, A og B danner en ligebenet trekant. Betragter vi midpunktet M(0,5,5) for liniestykket AB, vil planen gennem O, M og Q stå vinkelret på AB. Punkterne O, M og Q danner derfor en retvinklet trekant i denne plan, hvor vinkel MQO er ret, og kateten OQ har længden 5. Punktet Q ligger derfor i planen gennem O med normalvektor AB = (0;-10;10) , og denne plan har ligningen
y - z = 0 .
Punktet Q skal ligge i afstanden 5 fra Q og i afstanden 5 fra M . Der skal derfor gælde
y = z ,
x2 + y2 + z2 = 52, og
x2 + (y-5)2 + (z-5)2 = 52 ,
dvs
52 -10y + 52 -10z = 0 ,
altså
y+z = 5 , og
y-z = 0, dvs
y = 5/2 , z = 5/2, og
x2 = 52 - (5/2)2 - (5/2)2 = 25/2 ,
dvs x = ±5/√2 .
Svar #2
16. maj 2012 af peter lind
Her er en lidt enklere metode:
Planens ligninger af formen a*x+b*y+c*z+d = 0. Da alle ligninger proportionale med hinanden kan man vælge den sådan at a2+b2+c2 = 1. Det giver en væsentlig lettelse af beregningerne. Indsætte man de givne punkter i planens ligning samt bruger at afstanden fra planen til kuglens centrum skal være radius i kuglen får man
5*b+d = 0
5*c+d = 0
d=±5
Den sidste kan man hvilken af fortegnene man vil. De 2 muligheder giver blot en forskel i fortegnen for alle led.
Løsningen af ligningssystemet kan faktisk klares som hovedregning
Skriv et svar til: Finde 2 tangentplaner ud fra to fælles punkter.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.