Inhomogen differentialligning af 2. orden

Du har lige fundet alle løsninger til den homogene ligning. Funktionen A*e^2x er jo en af dem.

Men man skal finde en nulpunktsfri løsning til den inhomogene ligning og dertil lægge samtlige løsninger til den homogene ligning, som du også har antydet med udtrykket

y(x) = y_h(x)+ÿ(x)

Kan du give en illustration som viser at ÿ(x) er en løsning til den homogene differentialligning? Det ville være en stor hjælp

#2

Du har fundet, at

y_h(x) = c₁e^2x + c₂e^-3x

er den fuldstændige løsning til den homogene ligning. Sæt c₂ = 0 og c₁ = A . Men det kan du ikke bruge til noget her, for ÿ(x) skal være en løsning til den inhomogene ligning.

Jo selvfølgelig. Men jeg kan ikke bruge A*e^2x hvis dette løser den homogene ligning. I sådan et tilfælde skal jeg bruge A*x*e^2x

Indsætter jeg A*x^2x i den inhomogene ligning fås:

4A*e^2x+2A*e^2x-6A*e^2x=5e^2x

Den venstre side bliver da nul. Er det måden at se det på?

Prøv at sætte udtrykket y(x)=y_h(x)+ÿ(x) ind i din ligning. Hvis du omarrangerer, får du et udtryk (foruden resten) i parentes, der er lig 0.  Jeg har ikke tid til at skrive det hele. Den kan muligvis også løses ved de konstante koeffecienters metode, men jeg har ikke efterprøvet det.

#4

Venstre side bliver jo nul, fordi A·e^2x er en løsning til den homogene ligning. Man skal med ÿ(x) have fat i en løsning til den inhomogene ligning.