naturlig logaritmefunktion

generelt
                 for
                          f(t) = b·e^-k·t          k>0
                 er
                          T½ = ln(2)/k

Ah tak, så havde jeg ikke helt glemt det :-)

detaljer:
                 f(t+T½) = (1/2)·f(t)
 

                 b·e^-k·(t+T½) = (1/2)·b·e^-k·t

                 e^-k·t·e^-k·T½ = (1/2)·e^-k·t

                 e^-k·T½ = (1/2)

                 -k·T½ = ln(1/2) = -ln(2)

                 k·T½ = ln(2)

                 T½ = ln(2)/k

Hej mathon (eller en eller anden anden)

Jeg har en næsten samme opgave som sygnok (det er noget med radioaktivitet), og jeg tror ikke helt, at jeg gennemskuer ln-funktionen! Kunne en eller anden venligst redegøre for to ting:

1) Hvordan man kommer frem til mathons ligning!
2) Hvad der sker på de enkelte led. Nogle af hoppene gennemskuer jeg ikke!

Mit løsningsforslag har været 

y = b*e^-0,1155*t 

y =b*2,78...^-0,1155*t

T_1/2 = y*(1/2) = (1/2)* (b*2,78...^-0,1155*t)

... og så dør den. Jeg ville sikkert kunne læøse med min fremgangsmåde, hvis vi kun havde én ubekendt, men det hele er jo en ubekendt og de almindelige fremgangsmåder for log fungerer ikke med ln (oder wie?)

Det der med en eksponent, der ikke er helt variabel (men indeholder en konstant) tror jeg forvirrer mig ;-)

Jeg tror i det hele taget jeg har brug for en definition af T(1/2) .... Det er den tid det tager en eksponentiel fkt at blive halveret, fx fra 100 til 50 ...

givet f(1) = 100 og f(4) = 50 er T(172) 34? 

#4

Det er jo gennemgået i mathons indlæg #3. Halveringstiden T_1/2 er den tid, der skal gå for at halvere funktionsværdien. Det er en egenskab ved aftagende eksponetialfunktioner, at halveringstiden er uafhægig af, hvornår man starter betragtningen. Lad derfor t være et vilkårlig tidspunkt, og vi søger derfor det T_1/2 , der opfylder betingelsen

f(t + T_1/2) = (1/2)·f(t) .

Heri indsætter vi forskriften

f(t) = b · e^-kt

og får

b · e^{-k(t + T1/2)} = (1/2) ·b · e^-kt ,

der reduceres til

e^-kt · e^-kT1/2 = (1/2) ·e^-kt ,

eller

e^-kT1/2 = 1/2 ,

der ved brug af ln() på begge sider bliver til

- k · T_1/2 = ln(1/2) = -ln(2),

og dermed

T_1/2 = ln(2) / k

#5

Hvis f(t) er en aftagende eksponentialfunktion med f(1) = 100 og f(4) = 50, er halveringstiden T_1/2 = 3 . Afstanden fra tiden t = 1 til t = 172 er 171, dvs 171/3 = 57 gange halveringstiden T_1/2 . Vi har da, at

f(172) = f(1) · (1/2)⁵⁷ = 100 · 2^-57

Tak for dit svar torben :-) Det var den forklaring jeg havde brug for. 

Det jeg mente i #5 var f(1) = 100, f(4)=50 giver T(1/2) = 3, ikke 34 og 172, så så langt havde jeg vist forstået det :-)

#8

OK, det kunne jeg så ikke få ud af det, du skrev i #5; men ja, det er korrekt, at T_1/2 = 3 .

(Nå, ja, på et dansk tastatur sidder / vist på 7-tasten).

Tak for de gode svar sidst. Nu efterspørger jeg en kommentar til min fremgangsmåde med en ligningsløsning på grundlag af samme funktion. Jeg tænker mest på, om jeg gør et eller andet, der potentielt set kan føre mig i uføre i en anden sammenhæng:

f(t) = 500 * e^-0,1155*t = 100

100 / 500 = e^-0,1155*t

log_e(100/500) = log_e(e) * -0,1155*t

log_e(100/500) / log_e(e) = -0,1155*t

(log_e(100/500) / log_e(e)) / - 0,1155 = t

13,93 = t

#10

Det er for så vidt korrekt, men det bør reduceres lidt mere. Normalt kalder man den naturlige logaritmefunktion log_e(x) for ln(x), men log_e(x) er da helt korrekt. Man skal dog benytte, at tallet e jo er basis for den naturlige logaritmefunktion, og at e^x og log_e(x) er hinandens omvendte funktioner. Derfor er

loge(e^-0,1155·t) = -0,1155·t , og man får da

-0,1155·t = log_e(100/500) = -log_e(5) ,

hvorfor

t = log_e(5) / 0,1155 ≈ 13,93453 (5 dec).

Lige et sidste spørgsmål. På C- og B- niveau har jeg skøjtet ret meget over ting, og jeg har en flot formelsamling i hovedet, men jeg mangler måske lidt forståelse. Det gælder også logaritmer.

Sådan som jeg forstår det, modsvarer logaritmer med basen 10 det antal gange, 10 skal ganges med sig selv for at give et bestemt tal, som vi kender det fra eksponentiel notation i kemi og fysik, fx

log(100) = 2,

fordi

10*10 = 1000

og log(1.000.000) = 6

fordi

10*10*10*10*10*10 = 1.000.000

På samme måde er

ln(20,0855369) = 3

fordi

e*e*e = 20,085...

Med andre ord er logaritmer grundlæggende set det antal gange basen (grundtallet) skal ganges med sig selv for at give tallet, man tager log af.

Imidlertid log(256) = 2,40823997

10*10*(10*0,40823997) bliver dog  10*10*~0,4, og det giver jo noget i retningen af 400. Det er ikke rigtigt, selvom 10^2,40823997 er rigtigt nok er 256. Hvis nu man skulle opskrive et skævt tal som 256 på samme måde som jeg har gjort med e³ og 10² og 10⁶ , hvad gør man så?

Tanken er bedre at forstå mekanikken bag eksponenter og logaritmer.

10*10 er naturligvis 100...

Det grundlæggende princip bag logaritmefunktionen log_k(x) med basis k er reglen

log_k(a·b) = log_k(a) + log_k(b) .

Derfor er

log_k(aⁿ) = n · log_k(a) ,

og da log_k(k) = 1, er derfor

log_k(kⁿ) = n .

Grunden til, at log₁₀(256) = 2,40823997 er, at 256 = 10^2,40823997 = 10^2+0,40823997 = 10² · 10^0,40823997

med lidt andre ord
 

                             log(t) = den eksponent man skal give10 for at få tallet

                             log(t) = b ⇔ t = 10^b        t>0

alle reelle tal kan skrives på
formen
                             t = a·10ⁿ    hvor      1<a<10    n∈N  ( videnskabelig notationsform )
så
                             log(t) = log(a·10ⁿ) = log(a) + n   hvor  0<log(a)<1   og n er hel

                              
                             log(a) kaldes mantissen ( = decimaldelen )
                             n kaldes karakteristikken ( = heldelen)
                       

og omvendt
                             10^log(t) = 10^{log(a) + n} = 10^log(a)·10ⁿ = a·10ⁿ = t