Hjælp til løsning af ulighed

Prøv at tegne de to kurver ind på graf-regneren og aflæs resultatet.


Duffy

Jo, men der må jo være en måde hvorpå jeg kan udregne det præcist.

Løs uligheden:
-2x^4 + 4x^2 > 2x - x^3


-2x^4 + 4x^2 > 2x- x^3 <=>
-2x^4 + 4x^2 - 2x > -x^3 <=>
-2x^4 + 4x^2 - 2x + x^3 > 0

Lidt pænere :

-2x^4 + x^3 + 4x^2 - 2x > 0

Lad os først se på

-2x^4 + x^3 + 4x^2 - 2x = 0

x(-2x^3 + x^2 + 4x - 1) = 0

-(2*x-1)*(x^2-2)x = 0

x E {0, 1/2, sqrt(2), -sqrt(2)}


...her vil det så hjælpe at vide hvordan kurven
gebærder sig.


Hvis man ser på grafen ses det let at løsningen er

L = ]-sqrt(2),0[ u ]1/2, sqrt(2)[



Duffy

"(...) og har nu knoklet med den siden 1730."

Hehe - mon dog? ;-)

#2: Det er der skam. Den oprindelige ulighed omskrives let til

2x^4 - x^3 - 4x^2 + 2x

Ideen er at faktorisere fjerdegradspolynomiet

p(x) = 2x^4 - x^3 - 4x^2 + 2x

Vi ser umiddelbart, at 0 er en rod i p og faktoriserer derfor således

p(x) = x*(2x^3 - x^2 - 4x + 2)

Observér, at x = 1/2 er rod i hvert af polynomierne

q(x) = 2x^3 - x^2 = (2x - 1)*x^2
r(x) = 2 - 4x

og det samme gælder derfor om p, thi

p(x) = x*(q(x) + r(x))

Polynomiers division giver

[q(x) + r(x)]/(x - 1/2) = 2x^2 - 4

(kontrollér selv dette!). Så

p(x) = x*(x - 1/2)*(2x^2 - 4)

De resterende rødder i p er rødderne i 2x^2 - 4, som let ses at være

x = ± sqrt(2)

Heraf sluttes, at

p(x) = x*(x - 1/2)*(x - sqrt(2))*(x + sqrt(2))

Eftersom p er kontinuert, kan polynomiet _kun_ skifte fortegn i nulpunkterne; x E {-sqrt(2), 0, 1/2, sqrt(2)}.

Lav derfor en fortegnsundersøgelse af p ved at evaluere p i passende x-værdier.

Lad mig undtagelsesvist afsløre, at løsningsmængden M til uligheden er

M = ]-sqrt(2); 0[ u ]1/2; sqrt(2)[

//Epsilon